2018年度 栄東中学入試問題・東大選抜【算数】大問3解説

(1)
下は正十二角形に対角線を引いてつくった図形です。
(あ)、(い)、(う)の角の大きさをそれぞれ求めなさい。

(2)
部活動を終えた東さんが教室に入ったとき、
自分の机の上に次のような手紙が置いてあることに気づきました。


残念ながら、東さんは明日の朝から部活動の試合に出場するので栄くんに会って教えることができませんでした。そこで、解説の手紙を書いて栄くんの机の上に置くことにしました。その手紙が完成するように、解答用紙の空欄にあてはまる数や言葉を書き込みなさい。また、《説明を記す欄》には、前後の文章とつながるように説明を書きなさい。


@解説@
(1)
(あ)は正十二角形の内角の1つ。
n角形の内角の和→180×(n-2)
180×(12-2)÷12=150 …(あ)

@別解@
多角形の外角の和は360°
正多角形の外角はそれぞれ等しい。

赤い印は同じ角度だから、360÷12=30°
180-30=150°

右側の六角形で考える。
六角形の和→180×(6-2)=720°
(720-150×4)÷2=60° …(い)

正十二多角形の内角の1である(あ)から(い)を引けば(う)。
150-60=90° …(う)

(2)
解答用紙の誘導に従う。

△ABXにおいて、(い)=60°だから、
∠XAB=∠XBA=60°
残りの角度の∠AXB=60°となり、△ABXは正三角形となる。

色のついた部分の周囲(赤線の合計)が72cm。
外側の三角形はすべて合同な正三角形なので、1辺の長さがそれぞれ等しい。
AB=72÷24=3cm

四角形ABQPにおいて、(う)=90°だから、
∠PAB=∠QBA=90°
残りの角度も対称性から∠BQP=∠APQ=90°

さらに、合同な正三角形の1辺より、AB=AP=BQ
ここから、四角形ABQPは正方形となる。

正方形ABQPの1辺ABが3cmなので、
3×3=9cm2

六角形PQRSTUを作図。
これを6つに分割する。
AB=PQから1つの正三角形は外側の正三角形(△ABX)と合同になる。
よって、六角形PQRSTUの面積は三角形ABXの面積の6倍

中の正三角形をすべて外側に移動させると、斜線部分の面積は赤い正方形6つの面積の和となる。
正方形の1つは9cm2なので、9×6=54cm2

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