2023年度 東京農業大学第一高等学校中等部過去問【算数】大問4解説

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(1)

6%の食塩水200gに20%の食塩水を何gか混ぜると、濃度が15%になりました。
この15%の食塩水に、2.5%の食塩水240gを混ぜると何%の食塩水になりますか。

(2)
ある商店では、3種類の商品A、B、Cを売っています。
AとBの商品の値段の和はCの3個分の値段より500円高いです。
来月から商品の値段がすべて100円ずつ上がり、AとBとCの値段の比は4:3:2となります。
現在のAの値段はいくらですか。ただし、消費税は考えないものとします。

(3)
ある公園の周りを1周する道路に等間かくに旗を立てます。
120本立てた場合と180本立てた場合では、旗と旗の間かくは6mの差があります。
144本立てたとき、旗と旗の間かくは何mになるか答えなさい。

(4)
今、袋の中に赤いボールがたくさん入っています。
この袋の中に白いボールを27個入れてよく混ぜて無造作に70個のボールを取り出すと、
その中に白いボールが14個含まれていました。
このことから、初めに赤いボールは袋の中に何個入っていたと考えられますか。

(5)
A、B、C、D、E、Fの6人は、文化祭のポスターを3人、2人、1人の
3つの班に分かれてはります。そのとき、AとBは同じ班で、CとDは別々の班に分かれました。
このとき、3人、2人、1人の分け方は何通りあるか答えなさい。

(6)
図のように、円Oは正方形ABCDの4つの辺と直角二等辺三角形EFCの3つの辺の
すべてに接しています。このとき、角xの大きさを求めなさい。


@解説@
(1)

天秤法。
支点からの距離は9:5
食塩水は逆比で⑤:⑨
混ぜた後の食塩水は⑭だから、200×⑭/⑤=560g

食塩水の比は、240:560=3:7
支点からの距離は逆比で⑦:③
15-2.5=12.5=⑩なので、
混ぜた後の濃度は、15-12.5×③/⑩=11.25%

(2)
関係式をあらわすと、
A+B=C×3+500
(A+100):(B+100):(C+100)=④:③:②

A=④-100、B=③-100、C=②-100
これを最初の関係式に代入すると、
(④-100)+(③-100)=(②-100)×3+500
⑦-200=⑥+200
①=400

A=④-100
=400×4-100
1500円

(3)
差集め算。

周りに旗を立てるので旗の本数とあいだの数は同じ
120本の方が本数が少なく、旗の間隔が長い。

120番目の間隔までの両者の差は6×120=720m
この差の集合が、180本立てた場合の残りの121番目~180番目の間隔の和に等しい
すなわち、公園の周りの1/3が720mで、これを3倍して144で割れば求めたい長さがでる。
720×3÷144=
15m

(4)
公立高校入試で頻出の標本調査。
取り出した赤の数は、70-14=56個
赤:白=56:14=④:①
この割合は母集団(全体)でも変わらないとみなす
白は①=27個だから、赤の個数は27×④=108個

5)
AとBが同じ班なので、ABをセットにして場合分け。

ABが2人班の場合、CとDは別の班だから2通りしかない。

ABが3人班の場合。全体から余事象を引いて求める。
まず、3人班の残り1人は4通り、1人班は3通り。
残り2人が自動的に2人班なので、全体は4×3=12通り
ダメな例は2人班にCDが一緒のときで、これが2通り
12-2=10通り
よって、2+10=12通り

(6)

接点がポイントなので、∠xに近い接点に注目する。
接線ADとABは円の半径と垂直に交わる。

上図の接点をI、Jとする。
IはACとEFの交点で、2つの直線は垂直に交わる
算数で使っていいのかわかりませんが、ここで直角三角形の合同条件を使います(;`ω´)
△GOIと△GOJに着目すると、∠GIO=∠GJO=90°
円の半径からIO=JO、共通辺GOなので、
斜辺と他の1辺が等しい直角三角形ゆえ、△GOIと△GOJは合同

IOを対称の軸とすると、対称性からHO側にも合同の直角三角形がある。
対応する角であるはすべて同じ大きさで、×4=90°だから、
x=★★=90÷2=45°
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