2019年度 専修大学松戸中学入試問題【算数】大問6解説

下の図は、1辺の長さが12cmの立方体と1辺の長さが6cmの立方体を組み合わせた立体です。
この立体を3つの点A、B、Cを通る平面で切断して、2つの立体に分けました。
このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
切断面はどのような形になりますか。
下のア~クの中から最も近いものを選びなさい。

(2)
2つに分けられた立体のうち、頂点Dをふくむ方の立体の体積は何cm3ですか。


@解説@
(1)
切断面の作図。
ABはつながるとして、Cの扱いに困る。
ポイントは平行線

断面図は対辺が平行になので、ABの45度線がうしろにもできる。
Cを通過するように45度線をひく。

もう1つの対辺も平行線。
すると、断面は右下にくの字のクボミがある平行四辺形となる→カ

(2)
形がわかっても、やや出しにくい(;`ω´)
まずは長さを認定する。

右下の三角形に注目。
BF=6cmから2つの三角形が合同。
ここからEは小さい立方体の1辺の中点にある。

次に、うしろの6cm(青線)を左上に平行移動する。
すると、Gは大きい立方体の1辺の中点にあるとわかる。

延長線をひいて2つの三角錐を作成。
三角錐の下の部分は、三角錐の体積の7/8(②×②×②-①×①×①:②×②×②)。

よくみると、大きい立方体の手前と小さい立方体の後ろは、同じ形で相似。
小さい立方体の後ろ()は、6×6÷2×12÷3×7/8=63cm3
小さい立方体の手前は、6×6×6-63=153cm3

大きい立方体の手前()は、先ほどのと相似。
辺の比が1:2なので、体積比は1:8。
…63×8=504cm3

したがって、Dを含む立体の体積は、153+504=657cm3
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