2021年度 北嶺中学過去問【算数】大問2解説

(1)
ある試験を500人が受験しました。
受験者全体の平均点は60.06点で、合格者の平均点は66点、不合格者の平均点は55点でした。
この試験の合格者は何人いますか。

(2)
食塩水Aと食塩水Bを、3:5の割合で混ぜると濃度が6.5%の食塩水になり、
7:3の割合で混ぜると濃度が7.8%の食塩水になります。
このとき、濃度が5.8%の食塩水をつくるためには、AとBをどんな割合で混ぜるとよいですか。
できるだけ小さな整数の比にして答えなさい。

(3)
5桁の整数の中で、各位の数がすべて異なり、
どの2つの数字の和も9にならないような数は全部で何個ありますか。

(4)
北嶺君の学年で3種類の動物(犬・猫・ハムスター)それぞれの好き嫌いについて
アンケートを取ることにしました。
犬が好きな人は48人、猫が好きな人は49人、ハムスターが好きな人は58人、
1種類だけ好きな人は62人、3種類すべて好きな人は9人でした。
2種類の動物が好きな人は何人いますか。

(5)
下の図は2つの直角二等辺三角形を組み合わせたものです。
色のついた部分の面積を求めなさい。


@解説@
(1)

面積図。
全体を60.06点で均したとき、左右の赤い長方形の面積が等しい
不合格者の縦は、60.06-55=5.06点
合格者の縦は、66-60.06=5.94点
縦の長さの比は、5.06:5.94=253:297=23:27(11で割る)

面積が等しいので、横の長さの比は逆比。不合格者:合格者=㉗:㉓
合格者の人数は、500×㉓/㊿=
230人

(2)
A:B=3:5で6.5%。
A:B=7:3で7.8%。
⇒Aを多く入れた方が濃度が濃い。つまり、BよりAの方が濃い

天秤法はすぐ使えるようにしておくこと。
混ぜた後の濃度が支点。支点からの距離は食塩水の量の逆比。
AとBの濃度差が変わらない点に注目すると、⑧=〔10〕だから【40】で比を統一する。
すると、7.8-6.5=1.3%は【13】に相当するので、【1】=0.1%。

6.5-5.8=0.7%だから、5.8%は6.5%から左に【7】のところ。
A~5.8%:5.8~B=【32】:【8】=4:1
食塩水の量は逆比でA:B=1:4

(3)
和が9になる組み合わせは5パターン。
A(0、9)
B(1、8)
C(2、7)
D(3、6)
E(4、5)
この中から5つの数字を選び、かつ2数の和が9にならないように選ぶので、
A~Eのなかからそれぞれ1つずつ選ぶことになる

留意点は、0は最高位である万の位に採用できないこと!
Aが0か9で場合分け
B~Eの選び方はそれぞれ2通りずつなので、2×2×2×2=16通り

◆A=9
5桁のA~Eの位置は、5×4×3×2×1通り
これに16をかける。(計算は後回し)

◆A=0
万の位はA以外なので、A~Eの位置は4×4×3×2×1通り
これに16をかける。

したがって、5×4×3×2×1×16+4×4×3×2×1×16
=(5+4)×24×16=
3456個

(4)

青の円の重なりは1枚、赤は2枚、黒は3枚。
円の重なりを無視すると、48+49+58=155人
赤以外を取り払う。

青を取り払う。
残りは、155-62=93人


黒を取り払う。黒の重なりは3枚なので3倍
残りは、93-9×3=66人
赤の重なりは2枚なので、2種類の人数は66÷2=33人

(5)

直角二等辺三角形なので、縦と横の長さは同じ。
斜線部分の底辺は、17-8=9cm

さらに辺の長さを調査する。
赤い直角二等辺三角形の高さは、底辺19cmの半分である19/2cm。
19×19/2÷2-2×2÷2-8×8÷2
=361/4-2-32
=225/4cm2
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