問題ＰＤＦ
あるスポーツの複合競技を５人の選手で競います。まず、３つの基本種目Ａ、Ｂ、Ｃを順に行います。それぞれの基本種目では、２人以上が同じ順位になることはありません。次に、基本種目Ａ、Ｂ、Ｃの順位の数字をすべてかけ合わせた数を得点にします。さらに、得点の低い選手が上位となるように、総合順位を決めます。
例えば、基本種目Ａで３位、Ｂで２位、Ｃで３位となった選手の得点は18点です。また、得点が18点の選手は、20点の選手よりも総合順位は上位となります。
（１）
得点としてありえない整数のうち、最も小さいものはいくつですか。
ただし、０は考えないものとします。
（２）
基本種目ＡもＢも１位であった選手がいましたが、総合順位が１位となったのは別の選手でした。
総合順位が１位となった選手の得点は何点ですか。
（３）
５人の選手の得点に同じものはなく、また、総合順位が４位、５位の選手の得点は、
それぞれ16点、80点でした。総合順位が１位、２位、３位となった選手の得点はそれぞれ何点ですか。
（４）
基本種目ＡとＢの順位の数字をかけ合わせた数は、３人だけが同じでした。
総合順位が１位となった選手の得点が12点であるとき、選手全員の得点の平均は何点ですか。
＠解説＠
スポーツクライミングの得点方式です。
（１）
□×□×□の積でありえない数のうち、最小数を求める。
各基本種目では同順位はいないので１～５位がすべている。
⇒□は１～５の範囲。
１×１×（１～５）＝１～５
１×２×３＝６
７は素数で無理。よって、７。
（２）
ＡとＢで１位だった者が総合で２位になったとする。
総合１位の得点は積を小さくするので、ＡとＢの順位を２位にしておく。
Ｃの得点はこの組み合わせしかない。
総合１位の得点は４点。
（３）
総合５位の80点は【４】×【４】×【５】しかない。
総合４位の16点は【１】×【４】×【４】か【２】×【２】×【４】だが、
前者だと２種目が４位となり、総合５位も２種目で４位だから、
４位が同種目で重複することになる。よって、総合４位は【２】×【２】×【４】
ＡとＢには残り１・３・５が入る。
４位が16点であることに注目！
５を含む16未満は【５】×【１】×【１】、【５】×【２】×【１】、【５】×【３】×【１】
【５】×【１】×【１】を採用すると、うまくいかない…。
【１】を分けて、【５】×【２】×【１】と【５】×【３】×【１】にすると、
うまくいく。
１位…９点、２位…10点、３位…15点
（４）
□×□の積が３人だけ同じになった。
□に３や５をいれた場合、【１】×【３】、【３】×【１】といったように、
順番をひっくり返して２個は作れるが３個目が作れない。
【１】×【４】＝【４】×【１】＝【２】×【２】しかない。
Ａ×Ｂの積は『３人だけが同じ』⇒残りの２人は【３】×【３】、【５】×【５】
１位の選手の12点は、【１】×【３】×【４】か【２】×【２】×【３】のどちらか。
もし、１位が【２】×【２】×【３】の場合。
Ａ×Ｂ＝12である残り２人のＣは、12点を超すように【４】か【５】でなくてはならないが、
４位が重複してしまうので不適！×
１位が【１】×【４】×【３】だと、うまい具合にいける。
５人の平均点は、（16＋12＋20＋18＋25）÷５＝18.2点
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