2018年度　渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問３解説

問題ＰＤＦ
図１のように、大小２つの円を合わせた形をした平らなジョギングコースがあります。Ａ君とＢ君はＰ地点から同時にスタートし、Ａ君は図２のような向きで、Ｂ君は図３のような向きで、「８」の字をえがくようにこのコースをそれぞれ一定の速さで走り続けます。Ａ君はＢ君より速く走ります。
また、ＣさんはＡ君、Ｂ君と同時にＰ地点からスタートし、大きな円のコースだけを反時計回りに一定の速さで歩き続けます。スタートした後、３人がはじめて同時に出会ったのはＱ地点で、そのときまでにＡ君とＢ君は４回出会いました。図４は、スタートしてからの時間と、Ａ君、ＣさんとＰ地点との道のり（Ｐ地点から進んだ道のりとＰ地点までの残りの道のりのうちの小さい方）の関係の一部を表しています。


このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）
Ａ君の走る速さは毎分何ｍですか。
また、小さな円のコースの１周の道のりは何ｍですか。

（２）
Ｂ君の走る速さとして考えられるもののうち、もっとも速い場合を考えます。
①このときのＢ君の速さは毎分何ｍですか。
また、３人がはじめて同時に出会ったのはスタートしてから何分後ですか。

②Ｃさんの歩く速さは毎分何ｍですか。
また、３人がはじめて同時に出会うときまでに、Ａ君とＣさんは何回出会いましたか。

＠解説＠
（１）

『Ｐ地点の道のり』はＰ地点までの距離。
Ａのグラフの山頂はＰ地点から最も遠いＲ地点までの距離となる。
（言い換えれば、８の字コースの半周にあたる地点）
Ａは８の字すべてを走るので、８の字（大円と小円）の全長は1500×２＝3000ｍ
Ａはこれを15分で走るので、Ａの速さは、3000÷15＝分速200ｍ

同様に、Ｃは大円のみを歩くので、大円は1000×２＝2000ｍ
よって、小円１周の道のりは3000－2000＝1000ｍ

（２）①
Ｂが最も速い場合を考える。
Ａ・Ｂ・Ｃが同時にＱ地点で会うまでに、ＡとＢは４回会っている。
→３人が同時にＱにきたとき、ＡとＢの出会いは５回目。

５回目にＱで出会うまでの経緯を考える。
仮にＡとＢがほぼ同じ速さだとすると、１回目はＲ付近、２回目はＰ付近、
３回目はＲ付近、４回目はＰ付近で出会うはず。
留意点は、ＡはＢより速いので、Ｂより多く走らなくてはならないこと！
つまり、Ａは下（Ｐ）から上がってＲまで行き、Ｑまで下がり、
Ｂは上（Ｐ）から上がって両者がＱで合流する。

Ａの走る距離…3000（全周）×２＋1500（半周）＋500（Ｒ－Ｑ間；小円の半周）＝8000ｍ
Ｂの走る距離…3000×２＋1000（Ｐ－Ｑ間；大円の半周）＝7000ｍ
距離の比は、Ａ：Ｂ＝8000：7000＝８：７
速さの比は距離の比と等しく、Ａは分速200ｍなので、
Ｂの速さは、200×７/８＝分速175ｍ
３人が出会う時間は、8000ｍ÷分速200ｍ＝40分後

②
ＣはＰから出発し、大円を反時計回りに歩く。
40分後、Ｑに到着するのでＣが歩いた距離は、
1000ｍ、3000ｍ、5000ｍ、7000ｍ、9000ｍ…
残りはグラフから手掛かりをつかむ。

ＣはＡより遅いので、Ｃの歩く距離はＡの8000ｍより短い。

Ｃが初めてＱについた正確な時間はわからないが、10分～15分後にあるとわかる。
10分でつくと、1000÷10＝分速100ｍ
15分でつくと、100×２/３＝分速200/３ｍ
Ｃの速さは分速200/３～100ｍの範囲。
先ほどのＣの歩いた距離の候補のなかでこの範囲に収まるのは、3000ｍ÷40分＝分速75ｍだけ。
よって、Ｃの速さは分速75ｍ。

Ａは8000ｍ走り、Ｃは3000ｍ歩く。

40分までに、Ａは８の字を２周＋1000ｍ走り、Ｃは大円を１周＋1000ｍ歩く。
３人がはじめて同時に出会うまで、ＡとＣは３回出会う。
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