問題ＰＤＦ
すべての整数を素数の積で表します。
ただし、素数とは２以上の整数で、１とその数の他に約数がない数です。
このとき、２または５のみで作られている数を以下のように小さい順に並べます。
２、４、５、８、10、16、20、25、32…
例えば、200を素数の積で表すと２×２×２×５×５となり、これは２または５のみで作られているので、200はこの数の並びの中に現れます。また、180を素数の積で表すと２×２×３×３×５となり、この中には２または５以外の素数３が含まれているので、180はこの数の並びの中に現れません。
（１）
次の中で、この数の並びの中に現れる数をすべて選びなさい。
（ア）50 （イ）60 （ウ）70 （エ）80 （オ）90
（２）
この数の並びの中に300以下の数は何個ありますか。
（３）
この数の並びの中の２つの数Ａ、Ｂに次のような関係があります。
Ａ－Ｂ＝7392
このとき、Ｂの値を１つ答えなさい。
＠解説＠
（１）
素因数分解して２か５以外がでてくるものを弾く。
50＝２×５×５
60→３がでてくる×
70→７が見えるからダメ×
80＝２×２×２×２×２×５
90→３×３＝９×
ア・エ
（２）
どう整理して調べるかがポイントになる。
大きい素因数５の個数で場合分けすると良い。
５0＝１、５1＝５、５2＝25、５3＝125
これらをスタートに２をかけ続け、300を超えない範囲まで調べる。
20個
（３）
一の位に注目すると、３つのグループに分けられる。
素因数２だけ（２のベキ乗）⇒０以外の偶数
素因数５だけ⇒５
両方ある⇒０
【Ａ－Ｂ＝7392】
一の位が５は絶対にない。
Ａが５だとＢは３になるが、一の位３は作れない。
Ｂが５だとＡは７になるが、同様に作れない。
となると、一の位は〔０or０以外の偶数〕の組み合わせ。
①Ａが０だと、Ｂは一の位が８である２のベキ乗。
②Ｂが０だと、Ａは一の位が２である２のベキ乗。
Ａは7392より大きいので、これを超すまで２のベキ乗を試しに並べてみる。
２、４、８、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192…
①一の位が８である数をＢに代入すると、
Ａ＝８＋7392＝7400＝74×100…74は素因数２と５では作れない。×
Ａ＝128＋7392＝7520×
Ａ＝2048＋7392＝9440×
②一の位が２である数をＡに代入。
Ｂ＝8192－7392＝800＝８×100〇！
よって、800。
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