2022年度 豊島岡女子学園中学過去問【算数】大問5解説

すべての整数を素数の積で表します。
ただし、素数とは2以上の整数で、1とその数の他に約数がない数です。
このとき、2または5のみで作られている数を以下のように小さい順に並べます。

2、4、5、8、10、16、20、25、32…

例えば、200を素数の積で表すと2×2×2×5×5となり、これは2または5のみで作られているので、200はこの数の並びの中に現れます。また、180を素数の積で表すと2×2×3×3×5となり、この中には2または5以外の素数3が含まれているので、180はこの数の並びの中に現れません。

(1)
次の中で、この数の並びの中に現れる数をすべて選びなさい。
(ア)50 (イ)60 (ウ)70 (エ)80 (オ)90

(2)
この数の並びの中に300以下の数は何個ありますか。

(3)
この数の並びの中の2つの数A、Bに次のような関係があります。
A-B=7392
このとき、Bの値を1つ答えなさい。


(1)
素因数分解して2か5以外のものがでてくるものを弾く。
50=2×5×5
60→3がでてくる×
70→7が見えるからダメ×
80=2×2×2×2×2×5
90→3×3=9×
ア・エ

(2)
どう整理して調べるかがポイントになる。

大きい素因数5の個数で場合分けすると良い。
0=1、51=5、52=25、53=125
これらをスタートに2をかけ続け、300を超えない範囲まで調べる。
20個

(3

一の位に注目すると、3つのグループに分けられる。
素因数2だけ(2のベキ乗)⇒0以外の偶数
素因数5だけ⇒5
両方ある⇒0

A-B=7392
一の位が5は絶対にない。
Aが5だとBは3になるが、一の位3は作れない。
Bが5だとAは7になるが、同様に作れない。
となると、一の位は〔0or0以外の偶数〕の組み合わせ。

①Aが0だと、Bは一の位が8である2のベキ乗。
②Bが0だと、Aは一の位が2である2のベキ乗。
Aは7392より大きいので、これを超すまで2のベキ乗を試しに並べてみる。
2、4、、16、32、64、128
256、512、1024、2048、4096、8192

①一の位が8である数をBに代入すると、
A=8+7392=7400=74×100…74は素因数2と5では作れない。×
A=128+7392=7520×
A=2048+7392=9440×
②一の位が2である数をAに代入。
B=8192-7392=800=8×100〇!
よって、
800。
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