2019年度 甲陽学院中学入試問題・2日目【算数】大問3解説

図のように、平らな広い台の上に、三角すいABCDが置いてあります。

この三角すいの4つの面はすべて1辺10cmの正三角形です。
1匹の小さいアリがこの三角すいの頂点Aから出発して、
毎秒1cmの速さで三角すいの面や台の上を進みます。
ただし、アリの大きさは考えません。
また、アリが三角すいと台の間に入ることはありません。
(1)
アリがAを出発してから10秒以内に進める範囲の面積を求めなさい。

(2)
アリがAを出発してから15秒以内に進める範囲の面積を求めなさい。


@解説@
(1)
AからBD方向に10cm進んだ様子を上から見るとこんな感じに↓

A-BCDは立体(正四角錐)であることに注意!
AからB、Dまではちょうど10cm。
正四角錐より先は台の上で扇形に広がる。
平面図(上から見た図)に引き直せば、∠BCDを中心角とした扇形と同じ。
(立体では、∠BADを中心角とする)
BC方向とCD方向を含めると、中心角60°の扇形が3つ
10×10×3.14×60/360×3=157cm2

上から見ると、ルーローの三角形になる(σ’д’)σ

(2)

15cm動くので、直線部分はここまでいく。
弧の部分も平行して5cm外側を周る。

(1)と同様に平面で考えると、中心角60°、半径15cmの扇形となる。

3方向に描写。

留意すべきは、あいだの部分は別の扇形になる!
三角錐の頂点から5cmの扇形。
中心角は、底面の正三角形の内角から対頂角を利用して60°。
15×15×3.14×60/360×3+5×5×3.14×60/360×3
=(15×15+5×5)×3.14×1/2
=250×3.14×1/2
=125×3.14=392.5cm2
平面で形を捉え、立体に戻して扇形を3つ数えるのがミソ。

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