2020年度 北嶺中学入試問題【算数】大問4解説

底面が正方形である直方体の容器①~⑨が、図のように9つ並べてあります。
この容器は特殊な材質で作られており、
次の3つのルールをすべて満たしながら液体を容器間で移動させます。

1:液体の入った容器は、面が接している容器が空ならば、
 その面から毎分1cm3の割合で空の容器に液体を流出させ、空でないならば流出させない。
2:液体の流出は、容器が空になるまで行われ、流出中の容器に他の容器から液体は流入しない。
3:液体が流入している容器は、流入が終わるまで他の容器に液体を流出させない。

今、容器①にのみ液体が12cm3入っている状態から液体の移動の様子を観察しました。
次のグラフは容器②の液体について、移動を始めてから9分後までの体積の推移を表しています。

(1)
8分後、容器⑤に入っている液体の体積は何cm3ですか。

(2)
9分後、空の容器は何個ありますか。

(3)
空の容器が初めて2個になるのは何分何秒後ですか。

(4)
11分後、容器⑤に入っている液体の体積は何cm3ですか。


@解説@
条件が難解である(;`ω´)
(1)
各容器内の液体があふれ、上から隣に移動するのではなく、
容器の面を液体がすり抜けていく

はじめは①に12cm3
①と接するのは②と④で、おのおの6cm3ずつ流入する。
液体は毎分1cm3移動するので、②と④に流出完了するのは6分後。

②と④に接する面は3面な
ので、おのおの2cm3を2秒で移動。
流入は複数の容器からでも可。
8分後に②は空になるのでグラフのようになる。
容器⑤に入っている液体の体積は4cm3

(2)
9分後を作図。

2cm3の③と⑦は2面、4cm3の⑤は4面。
これらの液体は1分間に1cm3ずつ全て移動する。
問題は4cm3の①は1分間に隣の2面に1cm3ずつ移動し、2cm3が①に残る
9分後の空の容器は③・⑤・⑦・⑨で4個。

(3)
9分後の次に液体を移動させて空ができる時間を見つける。

①から②・④へは1分かかるので、10分後に流入が完了する。
ルール3より、液体が流入している②と④は流入が終わるまで液体が流出しない
10分後まで左上3つは固まりとして放置しておく

⑥と⑧の2cm3は2/3cm3(2÷3)ずつ隣の3面に移動する。
すると、ちょうど⑥と⑧の2つが空になる。
9・2/3分=9分40秒後

(4)
大変(´・_・`)
9分40秒後に⑥と⑧が空になるとして、残り80秒を根気よく調べる。
いつ流入・流出が完了するのか。調べたいところだけを書き記していく。

10分後に①・②・④が完了。
残り5つの容器で流入流出が行われている。
ルール2より、流出中の③・⑤・⑦は②・④から流入しない。
②と④は再び①に流入開始。

③⑤⑦⑨が流入開始した9分40秒後から40秒後、10分20秒後に⑥⑧への流出が完了。
(③⑤⑥⑦⑧⑨は9分後と同じ、⑥⑧に2cm3の状況に戻る。
つまり、9分後の40秒後、さらに40秒後で元通りに)
ここから②→③・⑤、④→⑤・⑦への流入が始まる
他の容器へ流入中であっても隣の容器が空になれば、ルール1より流入を開始する。

11分まで残り40秒。1分で1cm3なので、2/3cm3の移動になる。
⑥と⑧は毎分2÷3=2/3cm3ずつ隣の容器へ流出する。
つまり、2/3分(40秒)たった11分後に⑥と⑧がちょうど空になる。
②と④の11/3cm3は2cm3よりも大きいので、÷3すると2/3を超える。
ということは、10分20秒後~11分後の40秒間
において、
⑤は四方から2/3cm3ずつ流入が行われる
2/3×4=8/3cm3

これは後回しでいいと思う。。
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