2022年度 武蔵中学過去問【算数】大問4解説

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図のような、点Oが中心の大小2つの半円があります。点Pは
点Aを出発して大きい半円の円周上を毎秒3cmの速さで点Bまで進み、Bで2秒間停止した後、再び同じ円周上を同じ速さでAまで進み、Aで2秒間停止します。Pはこの動きをくり返します。また、点Qは点Cを出発して小さい半円の円周上を点Dまで進み、Dからは直径DC上を進んでCまで戻る動きをくり返します。Qは停止することなく毎秒2cmの速さで動きます。P、Qが同時にA、Cを出発したとき、次の各問に答えなさい。ただし、この問題では円周率は22/7とします。

(1)
点Qが点Cに初めて戻ってくるのは出発して何秒後ですか。

(2)
角POQの大きさが初めて45°になるのは出発して何秒後ですか。

(3)
点Qが直径CD上になく、3点O、P、Qが一直線上に並ぶことがあります。
初めてそうなるのは出発して何秒後ですか。また、3回目にそうなるのは出発して何秒後ですか。


(1)
小さい半円の周りの長さは、14×22/7÷2+14=22+14=36cm
Qは毎秒2cmだから、36÷2=18秒後

(2)

小さい円と大きい円の半径の比は1:3。
ということは、半円の長さも1:3。

Pを小さい円に移した点をP’とする
P’の到着時間はPと変わらず、距離が1/3倍になるから、P’の速さは1/3倍で毎秒1cm。
同一円周上を動くP’とQの長さが円周の1/4のとき、∠POQ=45°になる
1秒間で両者の差は1cm開くので、22÷4÷1=
5.5秒後

(3)
PとQは別々のコースを動くが、先ほどのように同一円周上を動く2点と仮定すれば、
PとQが重なったときに3点O、P、Qが一直線上になる

ダイヤグラムを作成。
Pは片道22秒で、向こう側に着くと2秒間停止する。
Qは片道11秒で、7秒間は直径CD上で停止する。
交点●が一直線になるところ。

あとはお馴染みの処理。
速さの比がP:Q=だから、時間は逆比で②:①
1回目は、③=29-24=5秒なので、24+5×②/③=82/3秒後
3回目は、①=54-48=6秒なので、54+6=60秒後
1回目…82/3秒後、3回目…60秒後
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