問題ＰＤＦ
１からｎまでの整数を次の２つの条件を満たすように並べます。
条件１ はじめの数は１
条件２ 数が大きくなった後は小さくなり、小さくなった後は大きくなる
例えばｎが４のとき、条件を満たす並べ方は１→３→２→４と１→４→２→３
の２通りがあります。このとき次の問いに答えなさい。
（１）
ｎが５のとき、条件を満たす並べ方は何通りありますか。
（２）（あ）
ｎが９のとき、１から９までの整数のうち最後の整数としてありえない整数をすべて求めなさい。
（い）
ｎが10のとき、１から10までの整数のうち最後の整数としてありえない整数をすべて求めなさい。
並んでいる数において、隣り合った数の差を（※）とします。
例えば１→３→２→４であれば、１と３の差は２、３と２の差は１、２と４の差は２となるので、
（※）に現れる数は１と２の２種類であり、（※）の和は２＋１＋２＝５です。
（３）ｎ＝10のとき
（う）（※）の和の最大値は45です。
（※）の和が45となるような並べ方のうち、２番目が９であるような並べ方の例を１つ示しなさい。
（え）（※）の和の最小値は17です。
（※）の和が17とのあるような並べ方の例を１つ示しなさい。
（４）
ｎがどのような整数でも、うまく並べると（※）に現れる数を２種類にすることができます。
それぞれの場合に、その２種類の数を答えなさい。
（お）ｎが2019のとき
（か）ｎが2020のとき
＠解説＠
（１）
上がって下がって上がって下がる。
上がるときは下がるための着地点を残しておく必要があるので、
１の次は３・４・５のいずれか。
→５通り
（２）（あ）
出発は１なので、１は最後の整数にならない。
前問でｎ＝５だと上り下りが偶数回なので、最後は下がる。
ｎ＝９も同様で最後は下がる。
ということは、最大数の９も最後にならない。
→１・９
（い）
ｎ＝10では上り下りが奇数回となるので、最後は上がる。
ということは、出発点の１を除いた最小値２は最後になりえない。
→１・２
（３）（う）
差の和を大きくするので落差をつける。
45が１～９の和なのでこういう形にしたいが、
問題文では『２番目が９』と条件が付けられている…。
が、上のような形を意識して数字を並べると解けてしまう。
１→９→２→10→３→８→４→７→５→６（例）
（え）
今度は落差を小さくさせる。
はじめは２歩進んで１歩下がる。
その後は３歩進んで１歩下がるを繰り返して10へ。
１→３→２→５→４→７→６→９→８→10（例）
（４）（お）
差を２種類に限定したい。
↑この図をイメージできるかどうか。
平行→２本の直線距離が同じ＝差の種類が少なくなる。
上と下の数字の並びが平行関係にあればいい。
ｎ＝2019なので、最後は下がる。
上の列と下の列は数字がかぶってはいけないので、上のような順番になる。
すなわち、最後の数字は１～2019の中央値（2019＋１）÷２＝1010
１→1011→２→1012→３→1013………2018→1009→2019→1010
差は1010・1009・1010・1009・・をくり返す。
よって、1009と1010
（か）
前問と同様。
ただし、ｎ＝2020とｎが偶数なので最後は上がる。
差は1010・1009・1010・1009・・をくり返す。
1009と1010
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