2018年度 早稲田中学入試問題【算数】大問5解説

図の三角形ABCは直角三角形で、四角形DEFGは正方形です。
次の問いに答えなさい。

(1)
四角形DEFGの面積は何cm2ですか。

(2)
対角線EGを折り目として、三角形ABCを折りました。
折られた図形について、
①重なっている部分の周を解答らんのマス目にあわせて正確に太線でかき入れなさい。

②重なっていない部分の面積は、あわせて何cm2ですか。


@解説@
(1)
ヒントが少ないので角度を調査。

×=90°を手掛かりに等角を記していくと、
相似図形がたくさんあらわれる。

最も短い辺FCを①とする。
EF=②、正方形の1辺は②。
DG=②から、AG=④

△ABC∽△DBE
辺の比は、AC:DE=⑦:②
AB=3×7/2=21/2cm
BC=21/2÷2=21/4cm

△ABCと△DBEの面積比は、⑦2:②2=49:4
△ABCの面積を49とすると、四角形ADECの面積は45となる。

△ADGの面積…④×②÷2=【4】
正方形DEFG…②×②=【4】
△ECF=②×①÷2=【1】

正方形DEFGの面積は、
21/4×21/2×1/2×45/49×4/9=45/4cm2

@別解@

3+3/2=9/2
9/2×9/2-3×3/2×1/2×4=45/4cm2

(2)①

直線と直角を意識して、右側へ対称移動。
DはFと重なる。
BCとA’B’の交点をHとして、∠BDE=×を∠B’D’Eに移動させると、
2つの底角が等しくなり、△EFHはHE=HFとする二等辺三角形

HはEFの垂直二等分線上にある。
(すなわち、EFの中点を通る垂線)
EF(赤線)が右2上1なので、青線は右1下2で垂直となる。
青線とECとの交点がHとなり、重なっている部分を太線で描く。



全体(△ABC)-重なっている四角形GEHF×2=重なっていない部分

(1)より、正方形DEFGは45/4cm2だから、
△EFG=45/4÷2=45/8cm2

正方形DEFGの面積を【4】とおくと、△EFCは【1】であった。
(2)①の解答欄でHはECの中点にある
△EFH=45/4×1/4×1/2=45/32cm2

よって、21/4×21/2×1/2-(45/8+45/32)×2
=441/16-225/16=216/16=27/2cm2

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