2020年度 栄光学園中学入試問題【算数】大問2解説

時針(短針)・分針(長針)・秒針がすべてなめらかに動く時計があります。
この時計の針と針のなす角について、次の問に答えなさい。
ただし、針と針のなす角とは、2本の針が作る角のうち、
その大きさが180度以下のものを指します。
例えば、下の図において、時針と分針のなす角とは、印のつけた角のことです。

(1)
1時間23分45分での、時針と秒針のなす角の大きさを答えなさい。

(2)
12時0分0秒に、時針・分針・秒針の3本はぴったり重なります。
この次に時針と分針がぴったり重なる時刻について考えます。
①12時0分0秒からこの時刻までに、時針は何度動きましたか。

②この時刻での、時針と秒針のなす角の大きさを答えなさい。

(3)
時針・分針・秒針の3本がぴったり重なるとき以外で、
時針と分針がぴったり重なるときを考えます。
これらの時刻の、時針と秒針のなす角のうち、最も小さいものの大きさを答えなさい。

(4)
時針・分針・秒針の3本がぴったり重なるとき以外で、
いずれかの2本がぴったり重なるときを考えます。
これらの時刻の、重なっている2本の針ともう1本の針とのなす角のうち、
最も小さいものの大きさを答えなさい。


@解説@
(1)

時針は1分あたり、30÷60=0.5度ずつ動く。
23分45秒=23・3/4分
時針が文字盤の1から動いた角度は、0.5×23・3/4=11・7/8度
120+11・7/8=131・7/8度

(2)①
12時0分0秒から時針と分針が重なる時刻を求める。
通常の時計算。
1分あたり、時針は0.5度、分針は6度ずつ動く。
12時~1時までは重ならないので、1時以降を考える。
1時0分の時点で時針と分針は30度離れており、1分あたり6-0.5=5.5度ずつ近づく。
30÷5.5=60/11分後(時刻でいえば1時5・5/11分)
時針が動いた角度は、30+0.5×60/11=32・8/11度


1時5・5/11分のときの秒針の位置を特定する。
秒針は1分あたり360度動くので、
5/11分では360×5/11=163・7/11度動く(文字盤の5と6の間)。
163・7/11-32・8/11
=162・18/11-32・8/11=130・10/11度

(3)
すべて調べ上げるのは途方にくれる(;´Д`)
そこで前問の答えを活用する。

時針・分針・秒針が重なる0時00分00秒からスタート。
時針と分針が重なるのは65・5/11分後の1時5・5/11分。
このとき、時針分針と秒針のズレは130・10/11度であった。

次に時針と分針が重なるのは、60÷5.5をして2時10・10/11分。
つまり、同じく65・5/11分後である。
ということは、秒針が移動する角度が同じなので、
時針分針と秒針とのズレの大きさも同じでは(‘Д’)?
◆2時10・10/11分
130・10/
11×2=260・20/11=261・9/11度
求めたいのは小さい方の角度だから、
360—261・9/11=359・11/11-261・9/11=98・2/11度

◆3時16・4/11分
130・10/11×3=390・30/11=392・8/11度
392・8/11-360=32・8/11度

◆4時21・9/11分
130・10/11×4=520・40/11=523・7/11
523・7/11-360=163・7/11度

◆5時27・3/11分
130・10/11×5=650・50/11=654・6/11
720-654・6/11=719・11/11-654・6/11=65・5/11度

◆6時32・8/11分
130・10/11×6=780・60/11=785・5/11
785・5/11-720=65・5/11度
さっきと一緒⊂(^ω^)⊃

0時00分00秒から始まり、65・5/11分ごとに時針と分針が重なり、
12時00分00秒で再び時針と分針と秒針の3つが重なる。
反対に、12時00分00秒から65・5/11分前ごとに時針と分針が重なり、
00時00分00秒で再び時針と分針と秒針の3つが重なる。
つまり、時針と分針が重なるときの3つの針の位置関係は左右対称になる。
◆7時38・2/11分のときのズレは4時21・9/11分と同じ163・7/11度。
◆8時43・7/11分は3時16・4/11分と同じ32・8/11度。
◆9時49・1/11分は2時10・10/11分と同じ98・2/11度。
◆10時54・6/11分は1時5・5/11分と同じ130・10/11度。
結局、半分だけを調べればいいことになる。
したがって、答えは32・8/11度。

(4)
(3)では時針と分針が重なったとき、これと秒針との間の角を求めた。
他には時針と秒針が重なり、これと分針との間の角、
もしくは分針と秒針が重なり、これと時針との間の角があるが、
すべてを調べ上げるのは困難:;(∩´_`∩);:

思うに、動くスピードは秒針>分針>時針の順で速い。

↑(3)3時16・4/11分の様子。
針のズレは32・8/11=360/11度
秒針は文字盤の12から、360×4/11=130・10/11度の位置にあるので、
文字盤の4~5の間にあるから時針と分針の下にいる。

ここから逆再生して時針と秒針を重ねる。
時針と分針は動きが鈍いので、そのあいだの角は大きくならない。
つまり、時針と秒針が重なり、これと分針との間の角が答えになる。

1秒あたりの角度を求める。
秒針は360÷60秒=6度
分針は1分6度だから、6÷60=1/10度
時針は1分0.5度だから、0.5÷60=1/120度

留意すべき点は、秒針を戻すと時針も少し動くこと
1秒あたり秒針は時針に、6-1/120=719/120度近づく。
両者の距離は360/11度離れているので、360/11÷719/120=360/11×120/719…
計算がヤバイので保留(´゚ω゚`;)
求めたいのは分針との角。
1秒あたり分針は時針から、1/10-1/120=11/120度離れていく。
この360/11×120/719秒後を求める。

360/719度
どうなることやらと思いきや、最後はスッキリ+.*:・:ヽ(*・∀・*)ノ:・:*.+
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