問題ＰＤＦ
＜図１＞のように、立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨにおいて、
辺ＡＢ、辺ＦＧ、辺ＧＨの真ん中の点をそれぞれＩ、Ｊ、Ｋとし、
点Ｉ、Ｊ、Ｋを通る面でこの立体を切ったときにできる面を（あ）とします。
（１）
点Ａ、Ｆ、Ｈを通る面でこの立方体を切ったときにできる面を（い）とします。
このとき、（い）の面積は（あ）の面積の何倍ですか。
（２）
立方体の面ＥＦＧＨについて、＜図２＞のそれぞれの辺の上の点は、
辺を４等分した点を表しています。
このとき、＜図３＞のように、正方形ＬＭＮＯを底面とする直方体を立方体からくりぬきます。
点Ｉ、Ｊ、Ｋを通る面でこの立体を切ったときにできる面を（う）とします。
このとき、（う）の面積は（あ）の面積の何倍ですか。
（３）
立方体の面ＣＧＨＤについて、＜図４＞のそれぞれの辺の上の点は、
辺を４等分した点を表しています。
このとき、＜図５＞のように、（２）で直方体をくりぬいてできた立体から
正方形ＰＱＲＳを底面とする直方体をくりぬきます。
点Ｉ、Ｊ、Ｋを通る面でこの立体を切ったときにできる面を（え）とします。
このとき、（え）の面積は（あ）の面積の何倍ですか。
＠解説＠
（１）
中学受験では王道の切断なので、正解しておきたい。
Ｉ・Ｊ・Ｋを通る切断は正六角形。
Ａ・Ｆ・Ｈを通る切断は正三角形。
辺の比は、△ＪＧＫ∽△ＦＧＨからＪＫ：ＦＨ＝①：②
小さい正三角形の１辺の長さは①で同じ。面積比は小さい正三角形の個数で計算する。
（あ）：（い）＝６：４＝３：２
よって、２/３倍。
（２）
なかの直方体の部分が空洞をつくる。
直方体の切断。
ポイントは、正六角形の切断面上にある直方体の頂点に注目すること！
上から見た図では、ＬとＮがそれにあたる。
Ｎの真下、面ＥＦＧＨ上の点をＮ’とすると、
Ｌから始まりＮ’で終わるように直方体を切断する。
すると、直方体の切断面は菱形になり、真ん中で切ると正三角形が２つ。
この正三角形の１辺はＭＯと同じ長さで、先ほどの①に等しい。
求積すべき斜線部分の面積は、正三角形６つから２つ分を取り除く。
よって、４/６＝２/３倍
（３）
形がより複雑に(;´Д｀)
だが、やることは前問と同様。
横の長方形がどう切断させるか。
辺ＩＴ（頂点Ｐ’）から辺ＵＫ（頂点Ｒ）に向かって切ってみよう。
前問と同じ菱形が現れる。
お馴染みの正六角形の分割。
斜線部分が空洞になるところ。
（え）の面積は、正三角形24個のうち14個。
よって、14/24＝７/12倍
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