2019年度 武蔵中学過去問【算数】大問1解説

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次の各問に答えなさい。
(1)
次の【ア】~【エ】にあてはまる数を書き入れなさい。

31は小さい方から数えて【ア】番目の素数であり、
1以上31以下のすべての素数の和は【イ】です。
【イ】の約数は全部で【ウ】個あり、その【ウ】個の約数すべての逆数の和は
【エ】です。ただし、素数とは1とその数以外に約数をもたない数です。
また、1は素数ではありません。

(2)
1以上10000以下の整数をすべてかけあわせた数1×2×3×・・・×9999×10000を
31で割り続けたとき、初めて割り切れなくなるのは何回目ですか。
式や考え方も書きなさい。


@解説@
(1)
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31
11番目 ア…11

上の総和を頑張って出す。
イ…160

160の約数の個数。
160を素因数分解する。
160=25×5(25→2を5回かける)
1を含めた素因数の組み合わせで約数ができる。
5→1を含めて6個
5→1を含めて2個
6×2=12個
ウ…12

逆数の和を求める。
1/1+1/2+1/4+1/5+1/8+・・・+1/160=?
通分すると、分母が160。
分子は、160、80、40、32・・・4、2、1。
約数の並びが逆になる。
つまり、約数の和。
ここも素因数を活用する。
(1+21+22+23+24+25)×(1+51)=378
よって、378/160=189/80

(2)
1×2×3×・・・×9999×10000のなかに、素因数31が何個あるかを数える。
10000÷31=322…18
31の倍数は322個ある。
312=31×31=961の倍数には、31の素因数が2つ重複する。
10000÷961=10…390
313=31×31×31は、10000を超える。
322+10=332
333回目で割り切れなくなる。

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