2021年度 駒場東邦中学過去問【算数】大問4解説

2021、6564のように、連続する2つの整数を並べてできた、
4けたの整数を考えます。

(1)
このような整数は、全部で何個ありますか。

(2)
このような整数すべての平均を求めなさい。

(3)
このような4けたの整数のうち、47の倍数をすべて求めなさい。


@解説@
(1)
〔〇〇・〇〇〕
前2桁と後2桁は連続する整数。
〇〇は10~98の89個。(*99の次は100なので×!)
気をつけるべき点は、例題の〔6564〕のように前2桁が大きくても良い。
〇〇のペアの逆を含めて、89×2=178個

(2)
〔〇〇・〇〇〕

筆算を書いてみると、最後の☆☆は10~98と11~99の和
10と99は1個、11~98が2個ずつある。

11~98は2個ずつだが、均すので1個ずつと捉えてもいい。
10~99の90個の整数で、(10―99)(11―98)…とペアで考えると、
45番目の54と46番目の55の平均である54.5が全体の平均になる。

↑〇〇に54.5を挿入して強引に筆算。
5504.5

(3)
47の倍数とかいったいどうすれば( ;∀;)
47は素数なので倍数のルールは使えない。

43×47=2021
これは年号問題で予想されていたので、1個は手堅くゲットできる。
大問題は2021の前に該当する47の倍数があるかということ。

◆前2桁<後2桁
【1011、1112、1213、1314…1920】(10個)
1011÷47=21…24
1112を47で割った余りを求める。
等差が101だから101÷47=2…
余りは7ずつ増えるので、1112÷47の余りは24+7=31
余りの数列⇒〔24、31、38、45…〕
これが47の倍数になれば余りが消えて47の倍数となる
47-24=23、23÷7は割り切れない!
47×2-24=70、70÷7=10で割り切れるが、
初項の余り24から余り7を10個足したものなので、初項の1011から11個目の数、
すなわち、2021だから、2021より前に47の倍数はないことになる。

◆前2桁>後2桁
【1110、1211、1312、1413…1918】(9個)
1112を47で割ったときの余りが31だったので、
1110を47で割ったときの余りは29となる。
余りの数列⇒〔29、36、43、50…〕
47-29=18、18÷7は割り切れない!
47×2-29は、47×2-24が割り切れたから割り切れません。
ということで、2021より前に47の倍数はない
2021が連続する2数を並べた4桁の整数で最小の47の倍数である

ここまでが長かった。。(;°;ω;°;)
しかし、このあとどうするか。。

4747
↑これはどう見えても47の倍数ですよね(‘ω’)
47の倍数に47の倍数を足したり引いたりしても47の倍数なので、
前2桁と後2桁が同数の4747から、差が1である2021をプラスマイナスして
うまく調整できないものか
4747-2021=2726
4747+2021=6768

これで終わりと安心したいが、、4747×2=9494でも同じことができる。
9494-2021=7473
答えは、2021、2726、6768、7473。

@別解@
2021より前に47の倍数がない点ですが、
101の倍数±1で余りを一括して調べることもできます。
【1010、1111・1212・1313…1919】
1111÷47の余りが23で、余りは7ずつ増えるから、
余りの数列⇒〔23、30、37、44、51…〕
この数列にあらわれる数字を±1してそれが47の倍数になるかどうか。
19個しかないので、47と94に近いものだけを調べれば決着がつきます。
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