2019年度　暁星中学過去問【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
Ｍ、Ｎはともに１以上の整数であるとし、ＭはＮより大きいものとします。
ここで、＜Ｍ、Ｎ＞を次のような分数の式で定めます。
分母はＮから１まで大きい順にすべての整数をかけたものとします。
分子はＭから大きい順にＮ個の整数をかけたものとします。
例えば、　です。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
512を素数だけの積の形にしたとき、２は何回かけられているか答えなさい。
ただし、素数とは１とその数のほかに約数がない数のことです。また、１は素数に含めません。

（２）
＜520、10＞は約分すると整数になります。
この整数を素数だけの積の形にしたとき、２は何回かけられているか答えなさい。

（３）
Ａを１以上の整数とします。
＜527、Ａ＞が偶数となるようなＡのうち、最小のものを求めなさい。

（２）
２の素因数を数えていく。
［分子の２の素因数の個数－分母の２の素因数の個数＝積の２の素因数の個数］
e.g.)32/８＝（２×２×２×２×２）/（２×２×２）＝２×２＝４
分母の２が５個、分子に２が３個。積は２を（５－３）回かけたもの。

問題文から『約分すると整数になる』ので、最終的に分子はすべて約分できる。

分母の２の素因数は、（１）で求めた512から出発しよう。
512の素因数は２のみで９個あった。
偶数の２の素因数は１、４の倍数は２、８の倍数は３でカウントしていく。

分母の２の素因数⇒16個
分子の２の素因数⇒８個
よって、２の素因数は16－８＝８個（２は８回かけられている）

＠指数法則＠
中学で習う指数法則。
ａ^ｍ×ａ^ｎ＝ａ^ｍ＋ｎ
ａ^ｍ÷ａ^ｎ＝ａ^ｍ－ｎ
（ａ^ｍ）^ｎ＝ａ^ｍ×ｎ
e.g.)２⁶⁴÷２⁶⁰＝２^64-60＝２⁴＝16

（３）
取っ掛かりをつかむために、とりあえずやってみる。
Ａの最小値を求めるので、Ａ＝１から施行する。

■Ａ＝１のとき、527/１＝527…奇数
■Ａ＝２のとき、526と２に２の素因数が１つずつある。
約分で２を消すと奇数オンリーとなるので奇数。
■Ａ＝３のとき、２の素因数の状況が変わらない⇒奇数
■Ａ＝４のとき、524と４に２の素因数が２つずつある。
約分して消すと奇数オンリーとなる⇒奇数

２の素因数が同じ個数だと、積は奇数になってしまう。
積が偶数となるには、分子に２の素因数を残しておく必要がある。
奇数は２の素因数が増えないので、偶数のときだけ考える。

522/６→２の素因数はともに１。
520/８→２の素因数はともに３。
518/10→ともに１。
516/12→ともに２。
514/14→ともに１。
512/16→９個と４個。
ここで、分子に２の素因数が一気に５個余り、偶数となる。
よって、Ａ＝16。
*分母が１～16で、分子は連続する16個の整数だから、
約分すると分子がすべて１になって整数になるはず。
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