問題ＰＤＦ
下の図１のような１辺の長さが10ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨについて、次の問いに答えなさい。
（１）
立方体の辺上または内部の点Ｐ、Ｑ、Ｒをとって、７つの点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈを頂点として、
三角形ＰＱＲ、正方形ＥＦＧＨといくつかの多面体を面にもつ立体Ｘを考えます。
この立体Ｘを（あ）の方向から見ると図２、（い）の方向から見ると図３、（う）の方向から図４のように見えます。
図３、図４でＰとＱは重なって見えていて、辺ＤＨの真ん中の点とも重なって見えます。
また、Ｒは辺ＤＧに重なって見えます。
（ア）
立体Ｘを図１の（え）の方向から見たときの図を解答欄にかきなさい。
（イ）
立体Ｘの面の数はいくつですか。
（ウ）
立体Ｘの体積は何ｃｍ3ですか。
（２）
立体の内部に２点Ｓ、Ｔをとり、図１の（あ）と（い）の方向からこの２点をみると、
図５のように見えます。２つの図でＳ、Ｔは正方形の対角線を３等分する点とします。
このとき、４点Ｆ、Ｇ、Ｔ、Ｓを頂点とする立体Ｙの体積は何ｃｍ3ですか。
＠解説＠
（１）
Ｐ、Ｑ、Ｒの位置を確認しよう。
ＰはＡＥ上の中点、ＱはＤＨ上の中点、Ｒは真上からみて中心にある。
これを思い浮かべられないと点差が開いてしまう。
（ア）
（イ）
面の数は８個。
（ウ）
立方体の下半分から、三角錐２つと四角錘１つをひく。
10×10×10÷２－（５×10÷２×５÷３×２＋５×10×５÷３）
＝1000/３ｃｍ3
（２）
ここも出だしの空間認識が肝要。
Ｓ、Ｔは立方体の対角線ＢＨ上にくる。
三角錐Ｓ－ＦＧＴを求めたい。
ＳとＴがＢＨ上にあるということは、Ｓ、Ｔ、Ｆは面ＢＦＨ上にある。
三角錐Ｓ－ＦＧＨと三角錘Ｔ－ＦＧＨは底面を△ＦＧＨで共通し、
ＳＴ＝ＴＨより高さが２：１なので、Ｓ－ＦＧＨ：Ｔ－ＦＧＨの体積比は２：１。
ということは、Ｓ－ＦＧＨからＴ－ＦＧＨをひいたＳ－ＦＧＴはＴ－ＦＧＨと体積が等しい。
10×10÷２×（10×１/３）÷３＝500/９ｃｍ3
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