2021年度 立教新座中学過去問【算数】大問3解説

図のように、AB=6cm、AD=8cm、AE=12cmの直方体ABCD―EFGHから、
1辺の長さが4cmである正方形を底面とする直方体でまっすぐ奥までくりぬいた立体があります。
次の問いに答えなさい。

(1)
この立体の体積と表面積をそれぞれ求めなさい。

(2)
辺AD、BC、EHの真ん中の点をそれぞれP、Q、Rとします。
この立体を3点P、Q、Rを通る平面で切断したとき、点Aをふくむ方の立体をKとします。
立体Kの表面積を求めなさい。

(3)
(2)の立体Kにおいて、辺AE、PRの真ん中の点をそれぞれS、Tとし、
辺BF上にBU=4cmとなる点Uをとります。
立体Kを3点S、T、Uを通る平面で切断したとき、
点Aをふくむ方の立体の体積を求めなさい。


@解説@
(1)
◆体積
(6×8-4×4)×12
=32×12=
384cm3

◆表面積

外側を展開すると、横28(長方形ABCDの周りの長さ)cm、縦12cmの長方形。
中側を展開すると、横16cm、縦12cmの長方形。
これに前後の32cm2を足す。

28×12+16×12+32×2
=44×12+64=592cm2

(2)

外・中・前後は前問の半分。
切断により新たにむき出しになる部分は、うえの斜線部分。
592÷2+2×12=320cm2

(3)

書いててゴチャゴチャしましたが、概ねこんな感じになります(´°ω°`;)
断面の形はコ。
立体Kは全体の半分だから、384÷2=192cm3

四角形ABFEで捉える。
断面は
コの字だが、一様にコの字なので柱体の切断をみなし、上底+下底の比が使える
全体の体積比は、12+12=㉔
求積すべき立体の体積比は、6+4=⑩
192×⑩/㉔=80cm3
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