2019年度 駒場東邦中学過去問【算数】大問3解説

nを1以上2019以下の整数とします。
nを5個の整数2、3、4、5、6のそれぞれで割ったとき、割り切れない数の個数を《n》と表します。例えば、30は2、3、5、6で割り切れ、4で割り切れないので、《30》=1です。さらに、100は2、4、5で割り切れ、3、6で割り切れないので、《100》=2です。

(1)
《n》=0を満たすnの個数を求めなさい。

(2)
《n》=1を満たすnの個数を求めなさい。

(3)
《n》=1と《n+6》=1の両方を満たすnの個数を求めなさい。


@解説@
(1)
《n》=0ということは、2~6すべてで割り切れる。
2の倍数であり3の倍数であり4の倍数であり5の倍数であり6の倍数でもある
6の倍数であれば、必然的に2の倍数であり、3の倍数でもあるので、
4・5・6の倍数を考えればいい
4・5・6の最小公倍数→60
1~2019までに60の倍数は、2019÷60=33…39
→33個ある。

(2)
《n》=1は、2~6のうち4つの数で割れて、1つだけ割れない。
割れない1つの数とは何か?

2で割れないと、4と6でも割れない。
3で割れないと、6でも割れない。
6で割れないと、6の倍数=2の倍数×3の倍数だから2か3でも割れない。
ということは、4だけ割れない場合か5だけ割れない場合となる。

(1)より4・5・6の最小公倍数である、60ごとの固まりで考える
(1~60の中で該当の数を数え、あとで倍にして2019までを数える方針)

4の倍数でない、かつ5の倍数である、かつ6の倍数である→30
4の倍数である、かつ5の倍数でない、かつ6の倍数である
→12の倍数である、かつ5の倍数でない→12・24・36・48
1~60の固まりに5つ。

1~2019のなかで60の固まりは33個+余り39。
最後の39には、〔12・24・30・36〕が含まれる。
5×33+4=169個

(3)
(2)で求めた169個のなかで、さらに《n+6》=1が成り立つ数を数える。
同様に1~60の固まりで捉える。
《n》=1が成り立つnは12・24・30・36・48だったので、
それぞれに+6をしてこれらの数字になるか調べる。
12+6=18×
24+6=30○
30+6=36○
36+6=42×
48+6=52×
1~60のなかで、24と30のみ。
2×33+2=68個
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