2021年度 豊島岡女子学園中学3回目過去問【算数】大問6解説

下の図のように、1辺の長さが12cmの立方体ABCD-EFGHの頂点B、D、E、Gを結んでできる三角すいを立体(あ)とします。立体(あ)の辺DE、BE、BG、DGの真ん中の点をそれぞれK、L、M、Nとし、辺EGを4等分する点をEに近い方からP、Q、Rとします。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
立体(あ)を4つの点K、L、M、Nを通る平面で切り分けたとき、
点Qを含む立体を(い)とします。立体(い)の体積は何cm3ですか。

(2)
(1)の立体(い)を3つの点K、L、Pを通る平面と、
3つの点M、N、Rを通る平面で切り分けたとき、
点Qを含む立体を(う)とします。立体(う)の体積は何cm3ですか。

(3)
(2)の立体(う)の3つの辺KP、LP、MPの真ん中の点をこの順にX、Y、Zとします。
3つの点X、Y、Zを通る平面で立体(う)を切り分けたとき、
点Qを含む立体の体積は何cm3ですか。


@解説@
(1)

中の立体は、立方体からA・C・F・Hを頂点とする4つの三角錐を切り落とした図形。
12×12×12-12×12÷2×12÷3×4
=12×12×12-12×12×8
=12×12×(12-8)=576cm3

立方体から同じように切り落とすので、切り落とした4つの三角錐はすべて合同
これらの底面の三角形(△BEG・△BDE・△BDG・△DEG)は、
立方体の面(正方形)の対角線を1辺とする正三角形で合同⇒中の立体は正四面体である。

これをKLMNで切り分けたときの側面に注目。
側面の正三角形をに分けると、上も下も面はが2つ、が2つ、四角形KLMNで同じ形。
つまり、上と下も同じ立体であり、求めたい立体(あ)は正四面体の半分である。
576÷2=288cm3

*4辺の中点で切断すると、正四面体は合同に2等分される

(2)

正四面体D-BEGから、三角錐K-LEPの体積を隣辺比で算出。
576×1/2×1/2×1/4=36cm3
三角錐N-MGRについても同様で36cm3
立体(い)の体積は、288-36×2=216cm3

(3)

これも側面の正三角形から図形の特徴をつかむ。
△BMLと△BGEは相似で、EG=④とすると相似比でLM=②
PR=④÷2=②
△DNKと△DGEも同様に相似でKN=②となり、LM=PR=KN
同位角も等しいから平行、LM//PR//KN

さらに、正三角形BGEは左右対称でLMとPRの長さが同じということは、
LMを真下にスライドするとPRとなり、LPとMRは底辺EGに垂直に交わる
(BからEGに垂線をひき、左右で相似を使ってもよい)
四角形LPRMは長方形で、同様に、四角形KLMNと四角形KPRNも長方形である。
ここから側面の3つが長方形だから、立体(い)は三角柱である
XYZが通過する断面は長方形KLMNに平行である。

三角柱(い):三角柱(う)=△KLP:△XYP
=【4】:【1】
立体(う)の体積は、216×1/4=54cm3
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