2021年度 穎明館中学過去問【算数】大問4解説

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円柱形の水そうの中に、円柱のコンクリートブロックが下の図1のように円の面を下にして置かれています。ブロックの底面の半径と高さは、水そうの底面の半径の1/2です。この水そうに一定の割合で水を注ぎます。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
水を注ぐ時間と水面の高さの関係を表すグラフとして、正しいものはどれでしょうか。

(2)
水を入れ始めてから水そうがいっぱいになるまでに、
水面の高さがブロックと同じになるまでの時間の3倍かかりました。
このとき、ブロックの高さと水そうの深さの比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。

(3)
ブロックを下の図2のように置いたとき、
水を注ぐ時間と水面の高さの関係を表すグラフとして、正しいものはどれでしょうか。
(1)の選択肢のなかから答えなさい。


@解説@
(1)(2)

(*以下、水面がブロックの高さになるまでを前半、それ以降を後半と記述します)
前半は底面積が小さく、後半は大きくなる。
→水面の高さの変化は前半が急で、後半は緩やか
水面の高さの変化は1回だけでグラフは湾曲しない。
(1)…ア

ブロックの半径:水槽の半径=1:2
円の面積比は半径×半径だから、ブロックの底面積を①とすると、
水槽(後半)の底面積は④、前半の底面積は③。

『水を入れ始めてから水槽がいっぱいになるまでに、
水面の高さがブロックと同じになるまでの時間の3倍かかった』
水を入れる割合は一定だから、水を入れた時間=体積比になる

水面の高さがブロックと同じになる前半の体積を【1】とすると、
水槽の体積は【3】、後半の体積は【2】。
高さ=体積÷底面積

    前半:後半
体積  【1】:【2】
底面積   ③:④       
高さ  1/3:1/2
=2:3
前半の高さと水槽全体の高さの比は2:5。
(2)…2:5

(3)

底面積の変化をみると、最初は徐々に小さくなっていき、
ブロックの半分を過ぎると再び大きくなっていく。
水面の高さの変化は次第に傾きが急になり、
ある時間から再び緩やかになって、ブロックを過ぎると緩やかな直線となる。

円柱を縦に割ったときの断面積の大きさは常に変化する。
⇒水面がブロックに触れているあいだ、水面の高さの変化率は常に変動する
グラフは緩やかなS字を描く。オ
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