2021年度　早稲田中学過去問【算数】大問３解説

問題ＰＤＦ
生徒から１個ずつ集めたプレゼントを先生が生徒に分けることにしました。
次の空らんに当てはまる数を答えなさい。
（１）
Ａ、Ｂ、Ｃの３人から集めたプレゼントを先生が分けます。
（ア）３人とも自分のプレゼントを受け取るとき、その分け方は１通りあります。
（イ）３人とも他の人のプレゼントを受け取るとき、その分け方は２通りあります。
（ウ）３人のうち１人だけが自分のプレゼントを受け取るとき、その分け方は（①）通りあります。

その後、遅れてＤがプレゼントを持ってきました。
ここからＤが３人のうち、誰か１人とプレゼントを交換することで４人とも他の人のプレゼントを受け取る分け方を考えます。
（ア）の場合は、誰と交換しても分けられません。
（イ）の場合は、Ａ、Ｂ、Ｃの誰か１人と交換すれば、分けられます。
（ウ）の場合は、Ａ、Ｂ、Ｃのうち、自分のプレゼントを受け取った人と交換すれば、分けられます。
以上のことから、４人とも他の人のプレゼントを受け取る方法は（②）通りあります。

（２）
４人の生徒のプレゼントを先生が分けるとき、
４人のうち１人だけが自分のプレゼントを受け取る分け方は（③）通りあります。

（３）
５人の生徒のプレゼントを先生が分けるとき、
５人とも他の人のプレセントを受け取る分け方は（④）通りあります。

②

（イ）Ａ～Ｃが他の人のプレゼントを受け取る場合は２通り。
Ｄは３人の誰かと交換すればよいので、３×２＝６通り

（ウ）１人だけが自分のプレゼントを受け取る場合は前問の３通り。
Ｄは自分のプレゼントを持っている１人と交換する→１×３＝３通り
合計で９通り。

（２）③
自分のプレゼントをもらう人をＡで固定すると、
残りのＢ・Ｃ・Ｄの３人が他の人のプレゼントを受け取る場合は、（１）イから２通り。
自分のプレゼントをもらう人がＢ・Ｃ・Ｄの場合も同様で、２×４＝８通り

（３）④
なぜ、問題文では（ア）先生がわざわざ前の持ち主と同じプレゼントを配りなおしたり、
（ウ）１人だけ自分のプレゼントを受け取る場合を考えて（２）で問いたのか？
一見無駄に見える場合分けというのは、次の問いの誘導になっているもの。
そこで、本問も同じように考えてみる。

◆（ア）Ａ～Ｄの４人とも自分のプレゼントを受け取っている。
⇒１通り
Ｅが誰かと交換しても、５人とも他の人のプレゼントを受け取ることはできない。×
◆（イ）Ａ～Ｄの４人とも他のプレゼントを受け取っている。
⇒（１）②より、９通り。
Ｅは４人のうち誰か１人と交換すれば分けられる。４×９＝36通り
◆（ウ）Ａ～Ｄの４人のうち、１人だけが自分のプレゼントを受け取っている。
⇒（２）より、８通り。
Ｅは自分のプレゼントを受け取った人と交換すれば分けられる。１×８＝８通り
したがって、36＋８＝44通り

＠＠
本当にこれであってるのか？
ＡがＢに送ったケースを樹形図で調べると・・

11通りある。
ＡがＣ・Ｄ・Ｅに送った場合も同様で、11×４＝44通り！

＠完全順列（攪乱かくらん順列）＠
プレゼント交換や席順の問題のように、各要素が最初と同じ場所にならない順列のことを
数学の世界では完全順列（攪乱順列）といいます。

ｎ個の完全順列の総数はモンモール数（Ｄ_ｎ）というそうで、
Ｄ₀＝１
Ｄ₁＝０
Ｄ₂＝１
Ｄ₃＝２
Ｄ₄＝９
Ｄ₅＝44
Ｄ₆＝265
Ｄ₇＝1854
Ｄ₈＝14833…

高校数学で習う漸化式を使って、これらの数字の並びを一般化すると、
Ｄ_ｎ＝（ｎ－１）（Ｄ_ｎ－２＋Ｄ_ｎ－１）
*ｎ番目のモンモール数は、ｎ－１の値に２個前と１個前のモンモール数の和をかける。
Ｄ₃＝（３－１）×（１＋０）＝２
Ｄ₆＝（６－１）×（９＋44）＝265
Ｄ₈＝（８－１）×（265＋1854）＝14833

高校数学の美しい物語より。
このページによりますと、完全順列の総数を十分に大きくすると、
元の場所と位置が完全に変わっている確率は37％程度に落ち着くようです。
自分のプレゼントが当たる人が少なくとも１人でてくる確率は約63％。意外と大きな数値で驚きです。
難関中（算数科）解説ページに戻る