2019年度 大阪星光学院中学入試問題【算数】大問2解説

から始まり、分母が1ずつ減り、分子が一定の数(整数)ずつ増える数列を考えます。
(1)
という数列は、
〔  〕番目が約分してちょうど1になります。

(2)
という数列は、
約分して1になる数は出てきませんが、〔  〕番目ではじめて1より大きくなります。

(3)
このような数列のうち、約分して1になる数がでてくるのは、分子を1ずつ増やしたときと、
〔  〕ずつ増やしたときと、〔  〕ずつ増やしたときだけです。


@解説@
年度をつかった分数問題。
(1)

約分してちょうど1になる⇒分母と分子が同じ数になる。

中央値(メジアン)を求める処理と同様。
(2019+1)÷2=1010番目

(2)
1より大きくなる⇒分子が分母を上回る。

分子は2ずつ増え、分母は1ずつ減る。
距離は2:1。
問題は、1~?までの距離②と、?~2019までの距離①は間の数であるということ
分子が2ずつ増えていくのも、分母が1ずつ減っていくのも間の数による。
間の数は全体で、2019-1=2018個
2018×2/3=1345.3‥
②=1345.3‥で?に近づく。
中途半端な値になってしまうのは、(1)と違って分母と分子が同数にならないため。
最も近い整数(切り捨て)である1345を分子として計算すると、
1~1345までの間の数は(1345-1)÷2=672
分母は、2019-672=1347
〔1345/1347〕から次点の〔1347/1346〕で分母と分子の大小関係が逆転する。

分子の1347は何番目か。
先ほど、1~1345までの間の数が672個あったので、1345は673番目の数字。
1347は674番目となる。

@余談@
分子が奇数(1つ飛ばし)で、分母分子が同数にならないということは、
分母と分子が逆転したときの分子は〔分母+1〕になるすれ違ったときの差は1)。
後ろの①を1個ずらし、2019ではなく、2020からスタートさせて、
間の数の合計を2019個にすると、2019×2/3=1346
ということは、分子は1+1346=1347となる。

(3)
分母分子が同じになるパターンは、(1)の分子を1ずつ増やす場合以外に2つしかないという。
分母は1ずつ減っていくので、数列を極端に短くするとでてしまう(;’∀’)

数列が2つのみ…分母を2018に固定する。+2017
数列が3つのみ…分母を2017に固定する。
分子は1→□→2017で、(2017-1)÷2=1008ずつ増やせばいい。
答え…1008と2017

なぜ、この2つなのだろう?
(2)の解き方がヒントになる。

分子が2つずつ増え、分母が1つずつ減っていく。
増減は間の数の2018個。
間の数を言い換えれば、ゴールの数を除いた残りの数の個数である2018個。
(2)は分母分子が同数にならず、すれ違うので中途半端な数字になったが、
(1)と(3)は約分すると1になるので、分母分子が同数になる。

分子は1から出発して定数ずつ増やし、分母は2019から出発して1つずつ減らす。
両者はどこかで出会い、増減の和はゴールの数を除いた数の個数である2018。
2018を素因数分解すると、
2018=2×1009(意外と素因数が少ない
2018を2つの積で表すと、〔1×2018〕と〔2×1009〕しかない。

〔2018〕が左の例。分子の増加分は2018-1=2017
〔1009〕が右の例。分子の増加分は1009-1=1008
〔2〕が(1)。増加分は2-1=1→分子を1個ずつ増やす。
この3パターンしかない。
それ以外は2018の素因数でないので、たとえば、分子を2ずつや3ずつ増やすと、
分子分母を同数にすることができない。
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