2019年度　大阪星光学院中学過去問【算数】大問２解説

問題ＰＤＦ
から始まり、分母が１ずつ減り、分子が一定の数（整数）ずつ増える数列を考えます。
（１）
という数列は、
〔　　〕番目が約分してちょうど１になります。

（２）
という数列は、
約分して１になる数は出てきませんが、〔　　〕番目ではじめて１より大きくなります。

（３）
このような数列のうち、約分して１になる数がでてくるのは、分子を１ずつ増やしたときと、
〔　　〕ずつ増やしたときと、〔　　〕ずつ増やしたときだけです。

（１）

約分してちょうど１になる⇒分母と分子が同じ数になる。

中央値（メジアン）を求める処理と同様。
（2019＋１）÷２＝1010番目

（２）
１より大きくなる⇒分子が分母を上回る。

分子は２ずつ増え、分母は１ずつ減る。
距離は２：１。
問題は、１～？までの距離②と、？～2019までの距離①は間の数であるということ。
分子が２ずつ増えていくのも、分母が１ずつ減っていくのも間の数による。
間の数は全体で、2019－１＝2018個
2018×２/３＝1345.3‥
②＝1345.3‥で？に近づく。
中途半端な値になってしまうのは、（１）と違って分母と分子が同数にならないため。
最も近い整数（切り捨て）である1345を分子として計算すると、
1～1345までの間の数は（1345－１）÷２＝672
分母は、2019－672＝1347
〔1345/1347〕から次点の〔1347/1346〕で分母と分子の大小関係が逆転する。

分子の1347は何番目か。
先ほど、１～1345までの間の数が672個あったので、1345は673番目の数字。
1347は674番目となる。

＠余談＠
分子が奇数（１つ飛ばし）で、分母分子が同数にならないということは、
分母と分子が逆転したときの分子は〔分母＋１〕になる（すれ違ったときの差は１）。
後ろの①を１個ずらし、2019ではなく、2020からスタートさせて、
間の数の合計を2019個にすると、2019×２/３＝1346
ということは、分子は１＋1346＝1347となる。

（３）
分母分子が同じになるパターンは、（１）の分子を１ずつ増やす場合以外に２つしかないという。
分母は１ずつ減っていくので、数列を極端に短くするとでてしまう(;’∀’)

数列が２つのみ…分母を2018に固定する。＋2017
数列が３つのみ…分母を2017に固定する。
分子は１→□→2017で、（2017－１）÷２＝1008ずつ増やせばいい。
答え…1008と2017

なぜ、この２つなのだろう？
（２）の解き方がヒントになる。

分子が２つずつ増え、分母が１つずつ減っていく。
増減は間の数の2018個。
間の数を言い換えれば、ゴールの数を除いた残りの数の個数である2018個。
（２）は分母分子が同数にならず、すれ違うので中途半端な数字になったが、
（１）と（３）は約分すると１になるので、分母分子が同数になる。

分子は１から出発して定数ずつ増やし、分母は2019から出発して１つずつ減らす。
両者はどこかで出会い、増減の和はゴールの数を除いた数の個数である2018。
2018を素因数分解すると、
2018＝２×1009（意外と素因数が少ない）
2018を２つの積で表すと、〔１×2018〕と〔２×1009〕しかない。

〔2018〕が左の例。分子の増加分は2018－１＝2017
〔1009〕が右の例。分子の増加分は1009－１＝1008
〔２〕が（１）。増加分は２－１＝１→分子を１個ずつ増やす。
この３パターンしかない。
それ以外は2018の素因数でないので、たとえば、分子を２ずつや３ずつ増やすと、
分子分母を同数にすることができない。
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