問題ＰＤＦ
図１のように点Ｐ、Ｑは円Ｏの円周上の点Ａから同時に出発し、
それぞれ一定の速さで円周上を以下のように動きます。
①Ｑの方がＰよりも速く動く。
②Ｐは常に時計回りに動く。
③Ｑは始めは反時計回りに動くが、Ｐと重なるたびに向きを変えて動く。
図２の点ＢはＰとＱが重なった２回目に重なった点であり、
点ＣはＰとＱが５回目に重なった点です。このとき、ＡＣ＝ＢＣとなりました。
ただし、２回目に重なったのはＰが円Ｏを１周する前であり、
５回目に重なったのはＰが点Ａを１回だけ通った後でした。
次の各問いに答えなさい。
（１）
ＰとＱが２回目に重なるまでにＰが点Ａから進んだときの角度（あ）を求めなさい。
（２）
ＰとＱが４回目に重なったのは図３の点Ｄでした。角度（い）を求めなさい。
（３）
ＱはＰの何倍の速さで動いていますか。
（４）
ＰとＱが200回重なるまでに何回点Ａ上で重なりますか。
＠解説＠
（１）
図２の平面図形から考える。
補助線をひくと２つの二等辺が見つかる。
●●＝84°
四角形ＡＯＢＣで、（あ）＝360－84×２（●●●●）＝192°
（２）
左の∠ＡＯＢ＝360－192＝168°
ここで速さを考える。
Ｐは常に時計回り。
Ｑは反時計回りだが、Ｐと会うと時計回りに変わる。
１回目の重なりまで、ＰとＱはＡから違う方向で出発する。
１回目の重なりでＱはＰと同じ方向に変え、Ｐを周回遅れにして２回目に重なる。
つまり、奇数回ではＰとＱは異なる方向に向かい出会う形となるが、
偶数回ではＰとＱが同じ方向となり、ＱがＰを追いつく形で重なる。
ということは、Ａから出発～２回目の重なり（Ｂ）までと、
２回目の重なり（Ｂ）～４回目の重なり（Ｄ）までの時間が同じ。
Ｐが進んだＡ～Ｂ間とＢ～Ｄ間の距離も同じ。
∠ＢＯＤ＝192°
（い）＝192－168＝24°
（３）
△ＡＯＣで、∠ＡＯＣ＝180－42×2＝96°
前問から∠ＡＯＤ＝24°なので、
４回目～５回目の重なりまでＰが移動した距離は、96－24＝72°
同じ時間をＱは、360－72＝288°動く。
速さの比は、Ｐ：Ｑ＝72：288＝１：４
したがって、ＱはＰの４倍の速さで動いている。
（４）
Ｐの進む距離に注目。
前問から、ＰはＡからスタートして72度の場所でＱに会う（１回目の重なり）。
２回目は（１）の角度あ＝192°だったので、
Ｐが192－72＝120°進んでから、Ｑに追いつかれる。
以下、Ｐの進む距離は＋72、＋120が交互に繰り返される。
０、72、192、264、384・・
72°は５分の１周、120°は３分の１周なので、
一周を【15】とおき、＋【３】、＋【５】の数列、
【３】、【８】、【11】、【16】、【19】…で、【15】の倍数の個数を考える。
コツは〔８の倍数〕と〔８の倍数－５〕で２つのグループに分けること。
〔８の倍数〕は100個ある。
そのうち、15の倍数は、100÷15＝６…５→６個
〔８の倍数－５〕も100個ある。
最後の数は、100×８－５＝795
【３】、【11】、【19】、【27】…【795】
調べていくと、【75】（＝15×５）で初めて15の倍数となる。
次は、15×（５＋８）、15×（５＋16）、15×（５＋24）…15×（５＋48）
795＝15×53＝15×（５＋48）なので終了→計７個
したがって、７＋６＝13個
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