2023年度　栄光学園中学過去問【算数】大問１解説

問題ＰＤＦ
　３辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直角三角形ＡＢＣ（図１）と１辺の長さが２ｃｍの正方形（図２）があります。正方形の対角線の交点を点Ｏとします。まず、図３のように点ＯがＡと重なるように正方形をおきます。

　この状態から正方形を、向きを保ったまま（回転することなく）動かします（図４）。点Ｏは、直角三角形の辺上をＡ→Ｂ→Ｃ→Ａの順に毎秒１ｃｍで動き、再びＡに戻ってきたら止まります。
　以下の問では、直角三角形と正方形が重なっている部分の面積（図４の斜線部）について考えます。

（１）
次のときの重なっている部分の面積をそれぞれ答えなさい。
（ア）スタートしてから３秒後
（イ）スタートしてから４秒後
（ウ）スタートしてから５秒後

（２）
重なっている部分の面積が２ｃｍ²であるのは、スタートしてから何秒後ですか。
答え方の例にならって、すべて答えなさい。
例：１/２秒から２秒後の間と３秒後のとき
（答え方）１/２～２、３秒後

（３）
重なっている部分の面積が32/75ｃｍ²であるのは、スタートしてから何秒後ですか。
すべて答えなさい。

＠解説＠
（１）（ア）

３秒後は正方形の中心がＢにくる。

（イ）

Ｂから斜辺を１ｃｍ進む。
正方形の左側の辺はＢＡの外側にある。

前図（ア）から右側の辺は、１－３/４＝１/４ｃｍ
左上の直角三角形の高さは３/５ｃｍ、底辺が４/５ｃｍ。
重なり部分の台形は、（１/４＋８/５）×９/５÷２＝333/200ｃｍ²

（ウ）

１直線が正方形の中心を通過する→正方形の半分。
２×２÷２＝２ｃｍ²

（２）

（１）ウのように正方形の内部を１直線が切るような状態になると、半分の２ｃｍ²になる。
はじめは１ｃｍ移動して、正方形の下の辺がＡＣに接するとき。
ここから正方形の右上の頂点がＢＣに接するときまで２ｃｍ²を保つ。
ＢＯ＝１＋３/４＝７/４ｃｍ
移動距離ＯＡ；ＢＡ－ＢＯ＝３－７/４＝５/４ｃｍ
１～５/４秒後

正方形の左の辺がＢＡに接してからスタート。
Ａ～Ｏの距離；３＋５/４＝17/４ｃｍ
正方形の下の辺がＡＣに接するまで続く。
ＯＣ＝５/３ｃｍ、ＢＯ＝５－５/３＝10/３ｃｍ
移動距離Ａ～Ｏ；３＋10/３＝19/３ｃｍ
17/４～19/３秒後

正方形の右上頂点がＢＣに接してからスタート。
移動距離；３＋５＋４/３＋１＝31/３ｃｍ
ゴールは正方形の左辺がＡＢに接するとき。
移動距離；△ＡＢＣの外周－ＡＯ＝（３＋４＋５）－１＝11ｃｍ
31/３～11秒後
まとめると、１～５/４秒後、17/４～19/３秒後、31/３～11秒後。

（３）

正方形が頂点から離れると２ｃｍ²、頂点に近づくと重なり部分が小さくなる。
スタートのＡが１ｃｍ²。
Ｂは上図（１）アより５/８ｃｍ²。
32/75ｃｍ²はこれより小さいのでＣ付近で起こるはず。

ＯがＡＣ上にある場合を考える。
直角三角形の高さを３×□、底辺を４×□とする。
（３×□）×（４×□）÷２＝32/75　←両辺２倍
12×□×□＝64/75　←両辺÷12
□×□＝64/（75×12）＝16/225
□＝４/15

（底辺）４×□＝４/15×４＝16/15ｃｍ
ＯＣ＝16/15－１＝１/15ｃｍ
Ｏの移動距離；３＋５＋１/15＝121/15ｃｍ→121/15秒後

もう１つはＢＣ上にある場合。
正方形の左側の辺が先ほどと重なる→中心はＯの真上にある。
Ｏから真上に線をひき、ＢＣとの交点をＯ’とする。
Ｏ’Ｃ：ＯＣ＝５：４だから、
Ｏ’Ｃ＝１/15×５/４＝１/12ｃｍ
Ｏ’の移動距離；３＋（５－１/12）＝95/12ｃｍ→95/12秒後
95/12秒後と121/15秒後。
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