2019年度 清風南海中学校・A過去問【算数】大問5解説

Aさん、Bさん、Cさんの3人は同時にS地点をスタートし、
G地点にゴールするまでの40kmのマラソンコースを次のように走りました。

Aさん:S地点からG地点まで一定の速さで走りました。
Bさん:S地点から20km地点まで一定の速さで走り、
  20km地点からG地点までは速度を落として一定の速さで走りました。
Cさん:S地点から【X】km地点までは一定の速さで走り、
  【X】kmからG地点までは速度を上げて一定の速さで走りました。

その結果、10kmごとの順位と前走者との差は下の表のようになりました。
例えば10km地点では、1番にBさんが通過し、その2分後にAさんが通過し、
さらにその2分後にCさんが通過しました。次の問いに答えなさい。

(1)
アに当てはまる数を答えなさい。

(2)
下のグラフは、Cさんのスタートしてからゴールするまでの時間と
S地点からの距離の関係を表したものです。正しいものを選びなさい。

(3)
イ・ウに当てはまる数を答えなさい。

(4)
CさんがAさんに追いついたのはS地点から何kmの地点ですか。

(5)
【X】に当てはまる数を答えなさい。

(6)
Cさんの20km地点からG地点までかかった時間は、
S地点から20km地点までかかった時間の0.9倍でした。
CさんはS地点からG地点まで何分で走りましたか。


@解説@
むづかしい:;(∩´_`∩);:
各々の速さと、どこからどこまでかかった時間が不明。
(1)
わかっているのは、10km地点ごとにおける他者との時間差。
Bは20kmまで速さは一定。


2人の速さがわからなくても、速さが一定であれば距離と時間は比例
距離が2倍になれば、時間も2倍になる。時間の差も2倍になる
10km地点でBとAの差は2分だったので、20km地点では4分。
ア…4

(2)
10km地点ではAがCより2分先に着いた。
20km地点ではAがCより4分先に着くところ、3分になっている。
ということは、Cが速度を変えたのは10~20km地点のあいだとなる。

(3)
*先にウから。
Bは20km地点で速度を落とし、その後の速さは一定。
20km地点でBはAに4分差であったが、30km地点で1.5分の差となり、
4-1.5=2.5分、差が縮まっている。
40km地点でも2.5分差で縮まるので、2.5-1.5分=1分、AがBより先に着く。
ウ…1

イも同様。
Cは20km以降は速さが一定。
20km地点でAがCより3分早かったが、30km地点ではCがAより0.5分早く着いた。
時間の差は、30.5=3.5分縮まった。
よって、40km地点では、0.5+3.5=4分先にCが着く。
イ…4

(4)
ここらへんから、きつくなってくる(汗)
本問以降でBは使わないので、AとCだけで考える。
AとCは10km地点ごとの時間差しかわかっていない。
AとCの順位が逆転するのは20~30kmの範囲内にある。

Aが20km地点についたとき、その3分後にCが20km地点につく。
どこかでCが追いつき、Cの到着から0.5分後にAが30km地点につく。
AとCの速さは一定で、青と赤の矢印はそれぞれ走った時間が同じ
CはAに追いつく前は3分、追いついた後は0.5分の時間をAより多く歩いている。
この時間の差が追いつく前後の距離の比にあたる
3:0.5=6:1
20+10×6/7=200/7km

@別解@

グラフだと視覚的にわかりやすい。
2つの三角形の相似から、3:0.5=6:1となる。

(5)
きつい(´゚д゚`)
まずは泥臭い手法から・・。
XはCが速度をあげた場所。

上のグラフでいえば、D・Eのy座標が答えになる。
△ACB∽△ICH
AB:IH=40-200/7:200:7=2:5
HI=4×5/2=10
△CJG∽△CHI
JG:HI=200/7-10:200/7=13:20
JG=10×13/20=13/2
FG=13/2-2=9/2
△EFG∽△EHI
HI:FG=10:9/2=⑳:⑨
⑳-⑨=⑪が10kmに相当するので、10×⑳/⑪=200/11km

@別解@
時間差をうまく使う。
AとCが同じ距離(10km)を走ると、
Cが速さを変える前は、AがCより2分早い。
Cが速さを変えた後は、CがAより3.5分早い。

青線はA
変速前と変速後の速さは、2:3.5=④:⑦
0~変速まで④ずつAが先に行き、開いた差を変速後に⑦ずつCが埋めて0にする。
時間の比は逆比で、変速前:変速後=7:4となる。
△を時間とすると…④×△7(ひらいた差)=⑦×△4(縮めた差
一方、Aの速さは一定で、時間と距離は比例
すなわち、距離の比は7:4
200/7×7/11=200/11km
距離と時間と速さと時間の差と、関係性がごっちゃになりやすい。

(6)
最後まで悩みました。。。:;(∩´_`∩);:
一応、解けたのですが、文字式を使っていないにせよ、
負の数と移項を使ってしまったのが気がかりなところ…。

グラフを活用する。

Cは、0~20kmまで□10、20~40kmまで□9の時間がかかった。
Aは20km地点までに、□10-3分かかったことになる。
20kmは全体の半分だから、Aがゴールした時間は、
(□10-3)×2=□20-6分
Cの到着時刻は、□20-6-4=□20-10分
これが□19に相当する。
□20-10=□19
□1=10分
□19=190分

解法はスッキリしていますが、算数の先生はどう教えるのでしょうか?(;`ω´)
別解を思いついた方は、ぜひお問い合わせの方よりご教示くださいませ。
難関中 (算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
株価が爆上げした『すららネット』様(*'ω'*)


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA