2019年度 聖光学院中学過去問【算数】大問3解説

下の図のような、1辺の長さが2cmの正六角形ABCDEFがあります。
この正六角形の辺上を2点PとQが移動します。
点Pは点Aを出発して、毎秒2cmの速さでA→B→Cと移動します。
また、点Qは点Dを出発して、毎秒1cmの速さでD→Eと移動します。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
2点P、Qが出発して1秒間は、直線ADと直線PQは常にある点Xで交わります。
点Xはどこにあるかを式やことばで説明しなさい。

(2)
2点P、Qが出発して1秒間で、正六角形ABCDEF内で直線PQが通過した部分の面積は、
正六角形ABCDEFの面積の何倍ですか。

(3)
2点P、Qが出発して1.5秒後のとき、四角形CDQPの面積は
正六角形ABCDEFの何倍ですか。

(4)
2点P、Qが出発して1.5秒後のとき、直線PQと直線BDの交点をYとします。
このとき、BY:YDを、最も簡単な整数の比で答えなさい。


@解説@
(1)
1秒後の様子を書いてみる。

BA//DE→錯角で∠XAP=∠XDQ。
+対頂角→△XAP:△XDQ
この関係性はPQが移動中も変わらない。
AX:XD=AP:DQ=2:1
答えは、『直線ADを2:1に内分する点が点Xである。』

(2)
先ほどの図で、△XAPと△XDQの和が正六角形の何分の何かを求める。

△XDQの面積比を①とおくと、△XAP=④
BX:XQ=2:1から、△BDX=②
四角形ABDEは長方形で、ADはその対角線
△ADE=④+②=⑥
(四角形AXQE=⑥-①=⑤)

右の図のように考えると、四角形ABDE⑫は正六角形の2/3。
正六角形ABCDEFは、⑫×3/2=⑱
したがって、(④+①)/⑱=5/18倍

(3)
1.5秒後を図示。
PはBCの中点、QはDEを3:1に内分するところ。

ポイントはBCとEDを延長する。交点をGとおく。
△CGD=④×④=⑯
△PGQ=⑥×⑦=○42
四角形CDQP=○42-⑯=㉖
正六角形ABCDEF=△CGD×⑥=⑯×6=○96
よって、○26/○96=13/48倍

(4)
前問の四角形CDQPの状態で、BY:YDを求める。
線分を延長して交点をG、Hとする↓

上も下もわからないのが、もどかしい(; ̄Д ̄)
ためしにEG=□とおいてみる。
△PGB∽△PHC→1:1→HC=⑧+□
△QHD∽△QGE→3:1
ここから、HD=GE(□)×3と等式を作る。
⑧+□+④=□×3
□×2=⑫
□=6
最後に、△YGB∽△YHDから、
BY:YD=BG:DH=⑭:⑱=7:9
3つの相似を器用に扱わなければならない。
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