問題ＰＤＦ
下の図のような、１辺の長さが２ｃｍの正六角形ＡＢＣＤＥＦがあります。
この正六角形の辺上を２点ＰとＱが移動します。
点Ｐは点Ａを出発して、毎秒２ｃｍの速さでＡ→Ｂ→Ｃと移動します。
また、点Ｑは点Ｄを出発して、毎秒１ｃｍの速さでＤ→Ｅと移動します。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）
２点Ｐ、Ｑが出発して１秒間は、直線ＡＤと直線ＰＱは常にある点Ｘで交わります。
点Ｘはどこにあるかを式やことばで説明しなさい。
（２）
２点Ｐ、Ｑが出発して１秒間で、正六角形ＡＢＣＤＥＦ内で直線ＰＱが通過した部分の面積は、
正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の何倍ですか。
（３）
２点Ｐ、Ｑが出発して1.5秒後のとき、四角形ＣＤＱＰの面積は
正六角形ＡＢＣＤＥＦの何倍ですか。
（４）
２点Ｐ、Ｑが出発して1.5秒後のとき、直線ＰＱと直線ＢＤの交点をＹとします。
このとき、ＢＹ：ＹＤを、最も簡単な整数の比で答えなさい。
＠解説＠
（１）
１秒後の様子を書いてみる。
ＢＡ//ＤＥ→錯角で∠ＸＡＰ＝∠ＸＤＱ。
＋対頂角→△ＸＡＰ：△ＸＤＱ
この関係性はＰＱが移動中も変わらない。
ＡＸ：ＸＤ＝ＡＰ：ＤＱ＝２：１
答えは、『直線ＡＤを２:１に内分する点が点Ｘである。』
（２）
先ほどの図で、△ＸＡＰと△ＸＤＱの和が正六角形の何分の何かを求める。
△ＸＤＱの面積比を①とおくと、△ＸＡＰ＝④
ＢＸ：ＸＱ＝２：１から、△ＢＤＸ＝②
四角形ＡＢＤＥは長方形で、ＡＤはその対角線。
△ＡＤＥ＝④＋②＝⑥
（四角形ＡＸＱＥ＝⑥－①＝⑤）
右の図のように考えると、四角形ＡＢＤＥ⑫は正六角形の２/３。
正六角形ＡＢＣＤＥＦは、⑫×３/２＝⑱
したがって、（④＋①）/⑱＝５/１８倍
（３）
1.5秒後を図示。
ＰはＢＣの中点、ＱはＤＥを３：１に内分するところ。
ポイントはＢＣとＥＤを延長する。交点をＧとおく。
△ＣＧＤ＝④×④＝⑯
△ＰＧＱ＝⑥×⑦＝○42
四角形ＣＤＱＰ＝○42－⑯＝㉖
正六角形ＡＢＣＤＥＦ＝△ＣＧＤ×⑥＝⑯×６＝○96
よって、○26/○96＝13/48倍
（４）
前問の四角形ＣＤＱＰの状態で、ＢＹ：ＹＤを求める。
線分を延長して交点をＧ、Ｈとする↓
上も下もわからないのが、もどかしい(;￣Д￣)
ためしにＥＧ＝□とおいてみる。
△ＰＧＢ∽△ＰＨＣ→１：１→ＨＣ＝⑧＋□
△ＱＨＤ∽△ＱＧＥ→３：１
ここから、ＨＤ＝ＧＥ（□）×３と等式を作る。
⑧＋□＋④＝□×３
□×２＝⑫
□＝６
最後に、△ＹＧＢ∽△ＹＨＤから、
ＢＹ：ＹＤ＝ＢＧ：ＤＨ＝⑭：⑱＝７：９
３つの相似を器用に扱わなければならない。
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