2021年度 早稲田中学2回目過去問【算数】大問5解説

3以上の整数A、Bを用いて、次の操作を行います。

①1辺の長さがAcmである正B角形を作り、頂点と、頂点から各辺上に1cmごとに点を打ちます。正B角形のすべての頂点に黒い石を置きます。

②次の手順(ⅰ)、(ⅱ)を交互に繰り返し、残り全ての点の上に黒か白の石を1つずつ置いていきます。ただし、すでに石が置いてある点には新しい石は置きません。
(ⅰ)黒い石のとなりにあるすべての点の上に白い石を置きます。
(ⅱ)白い石のとなりにあるすべての点の上に黒い石を置きます。

たとえば、図1は、A=3、B=4のときで、置いた黒い石の数は4、置いた白い石の数は8です。また、図2は、A=4、B=3のときで、置いた黒い石の数は6、置いた白い石の数は6です。次の問いに答えなさい。

(1)
A=5、B=7とするとき、黒い石の数と白い石の数はそれぞれいくつですか。

(2)
白い石の数が15のとき、考えられるAの値を全て書きなさい。

(3)
黒い石の数が24のとき、考えられるAの値は何通りありますか。


@解説@
(1)

B=7ゆえ、正七角形。
A=5→1辺に6つの点が打たれる
両サイドは正七角形の頂点なので黒を置く。
中に向かって白、黒…と配置するとうえのようになる。

魔方陣の要領で考えると、1つのグループの中に黒は3つ、白は2つ。
黒…3×7=21個
白…2×7=14個

(2)
魔方陣で考えると、各グループに含まれる白の数は同じで、その合計が15個。
グループの数=正B角形の辺の数、すなわち、Bの値は15の約数である。
もっとも、多角形は三角形以上なのでB≧3

◆B=15
白は15÷15=1個
●〇●
A=2

◆B=5
白は15÷5=3個
●〇●〇●〇●
A=6

◆B=3
1つのグループに白は15÷3=5個
●〇●〇●〇●〇●〇●
A=10
したがって、A=2、6、10

(3)
ここも魔方陣で考える。
グループの数は24の約数で、かつ3以上。
B=24・12・8・6・4・3

◆B=24
1グループに黒の数は1個。

調べてみると、黒と黒のあいだに白が0・1・2個あるかで3パターンある
A=1~3

◆B=12
1グループに黒は2個。

こちらはA=4しかない。
つまり、1グループの黒の個数が奇数だと3パターン、偶数だと1パターンとなる

◆B=8
1グループに黒は3個。
奇数だから3パターン(A=5~7)

◆B=6
1グループに黒は4個。
偶数だから1パターン(A=8)

◆B=4
黒は6個。A=12

◆B=3
黒は8個で、A=16
したがって、Aの値は10通り。
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