問題ＰＤＦ
１辺の長さが12ｃｍである立方体の形をした水そうがあります。下の図のように、この水そうを水平な机の上に置き、頂点にそれぞれＡ～Ｈの記号を付けます。また、対角線ＣＥを４等分してＣに一番近い点をＫとします。この水そうにいろいろな量の水を入れて、ふたをします。このとき水面が次の（１）～（３）の状態になるときの水そうに入っている水の体積はそれぞれ何ｃｍ3ですか。
（１）
辺ＥＨを机につけたまま、真上から見たときに辺ＢＣと辺ＥＨが重なるように水そうをかたむけたところ、水面がＣＤの真ん中の点を通った。
（２）
頂点Ｅを机につけたまま、真上から見たときに頂点Ｃと頂点Ｅが重なるように水そうをかたむけたところ、水面が頂点Ｄを通った。
（３）
頂点Ｅを机につけたまま、真上から見たときに頂点Ｃと頂点Ｅが重なるように水そうをかたむけたところ、水面が点Ｋを通った。
＠解説＠
（１）
面ＡＥＢＦ方向からとらえる。
青い斜線の面積は、12×12－６×６÷２＝126ｃｍ2
奥行きは12ｃｍなので、126×12＝1512ｃｍ3
（２）
なんとなくこうなるんじゃないかと頭の中で思い浮かべても作図が大変。
↑こんな感じ。
Ｄに水面があるということなので、Ｄを通り、地面に平行な面を作図。
ＣからＢ、Ｄ、Ｇまでの距離はそれぞれ等しい。
立方体を問題文のように傾けたとき、水面は面ＤＢＧとなる。
12×12×12－12×12÷２×12÷３＝1440ｃｍ3
（３）
△ＤＢＧの各辺は、立方体の側面である正方形の対角線で長さがすべて等しい。
⇒△ＤＢＧは正三角形。
ＣＢ＝ＣＤ＝ＣＧなので、Ｋを通る水面も△ＤＢＧと相似図形になりそう。
面ＤＢＧとＣＥとの交点をＬとする。
対角線ＣＥの中点は立方体の中心で、ここをＯとする。
ＬＫ：ＫＣの値がわかれば、Ｋを通る水面の正三角形の１辺がわかりそう。
立方体を時計回りに45°傾け、面ＡＥＧＣの右半分を考える。
△ＢＯＬ∽△ＧＣＬで、ＢＯ：ＧＣ＝ＯＬ：ＣＬ＝１：２
ＫはＯＣの中点。
連比を組むと、ＯＬ：ＬＫ：ＫＣ＝２：１：３
Ｋを通り、正三角形ＤＢＧに平行な面を正三角形ＭＮＰとおく。
三角錐Ｃ－ＭＮＰと三角錐Ｃ－ＤＢＧは全体で相似。
ＤＭ：ＭＣ＝ＬＫ：ＫＣ＝１：３
ＭＣ＝12×３/４＝９ｃｍ
ＭＣ＝ＮＣ＝ＰＣ＝９ｃｍ
12×12×12－９×９÷２×９÷３
＝1728－121.5＝1606.5ｃｍ3
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