2019年度 洗足学園中学入試問題3回目【算数】大問3解説

(1) 正解率83.7%
1辺の長さが1cmの立方体をいくつか積み上げた立体を真上と正面から見たところ、下の図のように見えました。このような立体のうち、体積が最小のものは何cm3ですか。

(2) 正解率40.9%
A町から3.5km上流のB町までボートで川を上りました。出発してから15分間は一定の速さで進みましたが、15分後にエンジンが止まってしまいました。その後エンジンを直しましたが、出発の時より速さが遅くなりました。グラフはボートがA町を出発してからB町に着くまでの様子を表したものです。ボートが静水時に進む速さについて、エンジンが止まった後は止まる前の何%ですか。

(3) 正解率29.7%
縦12cm、横20cmの長方形の紙がたくさんあります。これらの紙を出来るだけ枚数が少なくなるように同じ向きに貼り合わせて縦28cm、横150cmの長方形をつくります。このとき、紙が2枚だけ重なっている部分の面積の合計は何cm2ですか。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

(4) 正解率9.3%
1から9までの9個の整数の中から数を選び、以下のように分数を作ります。

初めに4つの異なる数を選びそれらの積を分母、次に残りの5個の整数の中から4つの異なる数を選びそれらの積を分子とする。

作った分数をできるだけ約分した数をAとします。
例えば、初めに1・3・7・8を選び、次に残りの5個の整数の中から2・5・6・9を選んだ場合、となります。
なお、この問題は解答まで考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。


@解答@
(1)  
体積が最小のものを答える。

真上から見た図に数字を書き込もう。
一番手前で正面から見える形をつくり、見えない後ろをすべて1にする。
9cm3
*ちなみに体積が最大だと13cm3になる。

(2)  

情報整理力と処理能力が問われる。

エンジン停止前の上りの速さ…2000m÷15分=分速400/3m
川の流れ…400m÷12分=分速100/3m
エンジン停止前の静水時の速さ…400/3+100/3=分速500/3m

エンジン停止後の上りの速さ…1900m÷20分=分速95m
エンジン停止後の静水時の速さ…95+100/3=分速385/3m

したがって、385/3÷500/3×100=77%

(3)  
長方形の紙を『枚数が少なくなるように』同じ向きに貼る。
まずは、長方形を横長か、それとも縦長に貼るか判定する。

◆横長に貼った場合
縦…28÷12=2…4→3枚
横…150÷20=7…10→8枚
3×8=24枚

◆縦長に貼った場合
縦…28÷20=1…8→2枚
横…150÷12=12…6
→13枚
2×13=26枚

よって、横長に貼ったことになる。
(*採点者所見によると、この点を調べていない答案がほとんどだったそう。
答えが当たっていても減点される危険もあるので、きちんと判定しておこう)

この後が大変:( ´ω` ):
2枚重なっているところを探す。

左上から下に向かうと、4cm分が余るので、その上の8cmがダブる。
左上から右に向かうと、10cm分余るので、その左の10cmがダブる。
このダブりは帯状につながるが、注意すべきは右下の長方形に4枚重なるところがある
すると、2枚ダブるところは赤線のエリア
長さを丁寧に認定して、8×(130+10)+10×(16+4)=
1320cm2

@別解@
十字の交点の面積さえわかれば、全体から引いてもよし。
すなわち、12×20の長方形24枚分から全体の長方形28×150をひき、
さらに、4枚重なっている十字の交点10×8から3枚分を引く。
12×20×24-28×150-10×8×3=1320cm2
こっちの方が面倒くさいか(´ㅂ`;)

@追記@

赤線を端っこに寄せ、クロスの部分を角に置くと計算しやすかった。
140×8+20×10=1320cm2

(4)  
本試験で最も正解率が悪かった難問。

16=2×2×2×2
分子に2の素因数を4つだけ残せば、分子が16になる
2、4=2×2、6=
2×3、8=2×2×2
とりあえず、先に偶数を分子に配置してみよう

分母に偶数を配置すると約分で2の素因数を減らせる。
分子の2の素因数4つを残すパターンは、この3つしかないと思われる。

ここから○に奇数を代入していく。
偶数の約分に配慮すること!
 
左上の○から考えよう。
ここは約分で1にしなくてはならない。
5つの奇数のなかで1にできるのは1か3のみ
また、分子の6を3で約分して2にする必要がある

分子に1を代入すると、分子は3・5・7・9となり、6を約分できる。
分子に3を代入すると、分子は1・5・7・9となり、3が約分で1となり、
同時に6も3で約分できる。
Aの分母→5×7×9=315 A’の分母=5×7=35

分子の○2つに代入する奇数は、1・3・9しかない。
なぜなら、5・7は素数なので約分ができず、分子に残ってしまうから。
すると、うえの3つのパターンしかない。
Bの分母→3×5×7=105 Cの分母→315 C’の分母→35
よって、答えは
35・105・315。
*分子が16なので、分母に偶数は残らない。
ということは、分母に残る可能性のある数字は3・5・7・9のどれか。
2の素因数を4個にするためには、4つの奇数はすべて用いることになる。
5と7は素数ゆえ残る。3と9がともに分母に残らないとわかれば、
5×7 or 3×5×7 or 5×7×9となる。

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