2021年度　立教新座中学過去問【算数】大問１解説

問題ＰＤＦ
（１）
次の計算をしなさい。

（２）
まっすぐな道路の片側に木を植えます。
最初にＡ地点とＢ地点に木を植えて、すべての木と木の間かくが等しくなるように、
Ａ地点とＢ地点の間に木を植えることにします。
木の本数は、10ｍおきに植えるときのほうが、14ｍおきに植えるときより22本多く植えられます。
次の問いに答えなさい。
①Ａ地点とＢ地点は何ｍ離れていますか。

②10ｍおきに植えるときと、14ｍおきに植えるときに、
同じ位置に木を植えられるのは、Ａ地点とＢ地点を除いて何か所ありますか。

（３）
太郎君は３種類のお菓子Ａ、Ｂ、Ｃを合計2021個もらいました。
それぞれのお菓子の個数の比は、ＡとＢは１：６、ＢとＣは８：５です。
次の問いに答えなさい。
①太郎君はお菓子Ａとお菓子Ｃをそれぞれ何個もらいましたか。

②お菓子をもらった日、太郎君はお菓子Ａを20個とお菓子Ｃを180個家族にあげました。
その翌日から、太郎君は１人で毎日お菓子Ａを２個とお菓子Ｃを３個食べ続けました。
何日間か食べたところ、お菓子Ａの残りとお菓子Ｃの残りの個数の比が１：５になりました。
太郎君はお菓子を何日間食べましたか。

（４）
図のように直角三角形ＡＢＣと直線ℓが２点Ｄ、Ｅで交わっています。
直角三角形ＡＢＣを直線ℓの周りに１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし、円すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求めるものとします。

（５）
図は１辺４ｃｍの正方形と、半径２ｃｍで中心角90°のおうぎ形を４つ組み合わせた図形で、
辺ＡＤ上にＡＭ＝１ｃｍとなるような点Ｍをとります。
また、辺ＢＣ上のＦとＣの間に点Ｐをとり、２点Ｍ、Ｐを結び、
図のように影のついた部分をそれぞれア、イ、ウとします。
次の問いに答えなさい。

①ＣＰ＝１ｃｍのとき、ア、イ、ウの面積の和を求めなさい。

②アの面積と、イとウを合わせた面積が等しいとき、
ＣＰの長さを求めなさい。

（１）

16－９＝７
*ここの１番は例年、答えが整数値です。

（２）①
Ａ～Ｂにおいて、14ｍおきの間の数を●、10ｍおきの間の数を▲とする。
Ａ～Ｂの距離で等式を立てると、14×●＝10×▲
ということは、間の数の比は逆比となる。●：▲＝10：14＝⑤：⑦
22本多く植えられる→間の数が22個多い。
差の②が22個に相当するので、10本おきの間の数▲＝22×⑦/②＝77個
Ａ～Ｂの距離は、10×77＝770ｍ

②
10と14の最小公倍数は70。
Ａ地点から70ｍおきに同じ位置に木を植えられる。
770÷70＝11ヶ所
しかし、最後はＢ地点でかぶるので除くこと！
答えは10ヶ所。

（３）①
2021個とかもらいすぎじゃね(･Д･)

連比処理にかけると、Ａ：Ｂ：Ｃ＝④：㉔：⑮
和の㊸が2021個に相当する。

43×47＝2021←年度問題。対策しておく。
Ａ…2021×④/㊸＝47×④＝188個
Ｃ…2021×⑮/㊸＝47×⑮＝705個

②
Ａ残り…188－20＝168個
Ｃ残り…705－180＝525個
ここから１日にＡは２個、Ｃは３個ずつ減っていく。
求める日数までに減った総数（１日に減る個数×日数〇）の比をＡ：Ｃ＝②：③とおくと、
【168－②：525－③＝１：５】

（168－②）×５＝840－⑩＝525－③
移項を使わせて頂きます(;`ω´)
⑦＝315
①＝45
〇が日数なので、45日間。

（４）

↑回転体はこのようになる。
円錐に円柱が重なり、上部に空白の円錐がある。
△ＡＢＣ∽△ＤＢＥより、ＤＥ＝４ｃｍ

さらに長さを調べていく。
下の大きい円錐を区切ってみると、●がＢＤの中点にあたる。
立体の体積は、半径６高さ４の円錐と半径３高さ４の円柱の和から、
重複する半径３高さ２の円錐と上部空白の半径３高さ２の円錐を引けばいい。
６×６×3.14×４÷３＋３×３×3.14×４－３×３×3.14×２÷３×２
＝72×3.14＝226.08ｃｍ³

（５）①
とても面白い問題です(´ω`ﾉﾉﾞ

ＣＰ＝ＡＭ＝１ｃｍのとき、図形全体が点対称である。
アを右へ引越し。
赤線のエリアが求積すべきエリアであり、
これは台形ＭＤＣＰから半径２ｃｍの扇形を引けばいい。
（３＋１）×４÷２－２×２×3.14÷４
＝4.86ｃｍ²

②

黒い部分を共通部分として巻き込むと、
イ＋ウ＋黒（扇形３つ）＝ア＋黒（台形ＡＭＰＢ）
台形ＭＤＣＰの面積は、正方形全体－台形ＡＭＰＢ＝正方形全体－扇形３つ
＝４×４－２×２×3.14×３/４＝6.58ｃｍ²
ＰＣの長さは、6.58×２÷４－３＝0.29ｃｍ

＠余談＠

最初は、ア・イ・ウに囲まれているこちらを巻き込んで考えました。

ア＋黒は✨みたいな形。
✨は正方形全体から扇形４つ引いたもの。
一方、イ＋黒＋ウは台形から扇形１つを引いたもの。これらが等積である。

もっと整理すると、正方形全体から扇形３つを引いたものが台形ＭＤＣＰとわかる。
なぜ扇形３つが左の台形になるのか？そのワケを探して先の解法を見つけました(´･ω･`)
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