2021年度 立教池袋中学過去問【算数】大問10解説

下の図のような道に沿って、地点Aから地点Bまで進みます。

次の問いに答えなさい。

(1)
図Ⅰの道を、右、上のどちらかの方向に進むとき、行き方は全部で何通りありますか。

(2)
図Ⅱの道を、右、上、右ななめ上のどれかの方向に進むとき、行き方は全部で何通りありますか。


@解説@
(1)

左と下を合わせていく。
機械的に調べていくと42通り。

(2)

2つか3つを足していくと90通り。

@カタラン数@

1・2・5・14・42・132・429…
この数列はカタラン数といい、中学受験でもたびたび登場する。
階段状の最短経路にはカタラン数があらわれる
これを知っていると42通りとすぐでる。
132くらいまで覚えておくと便利かも。

では、なぜ42になるのか??(´~`)

わかりやすいように、左上を足して全体を正方形にする。
S⇒Gは5つの→、5つの↑の並び替えで求められるから、
105=252通り

全体の252通りから、少なくとも1つのを通過する左上ルートを引けば、
カタラン数42がでてくるはず。

のラインを対称の軸として線対称のルートを作成。
SとS’は対応するので、までの場合の数がすべて等しい!
S’⇒Gは必ず1つのを通り、6つの→、4つの↑だから、104=210通り
階段上のS⇒Gは、252-210=42通り

以上をまとめると、5番目のカタラン数は
105104=42で求められた。
カタラン数C2n2nn-1となり、
これを高校数学でチャッチャカチャーと処理すると、、

となります。
6番目のカタラン数は、
6126/=132

(2)についてカタラン数で解けた方は、
ぜひ下のコメント欄かお問い合わせより教えてくださいませm(_)m
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