2019年度　豊島岡女子学園中学過去問１回目【算数】大問４解説

問題ＰＤＦ
下の図のように、１辺の長さ24ｃｍである正方形ＡＢＣＤがあります。
辺ＡＢ上にＡＥの長さが16ｃｍとなる点Ｅをとり、Ｅを通って辺ＡＢに垂直な直線と辺ＣＤが交わる点をＦとします。また、直線ＥＦの上にＥＧの長さが９ｃｍ、ＧＦの長さが15ｃｍとなる点Ｇをとります。
動く点Ｐ、Ｑがそれぞれ頂点Ａ、Ｂを同時に出発し、点Ｐは辺ＡＤの上を頂点Ｄまで、点Ｑは辺ＢＣの上を頂点Ｃまで、ともに毎秒１ｃｍの速さで進みます。直角三角形ＤＥＦと台形ＧＢＣＦについて、直線ＰＱの左側の部分をそれぞれ図形ア、図形イとするとき、次の各問いに答えなさい。

（１）
２つの点が動き始めてから12秒後の図形アと図形イではどちらの面積が何ｃｍ²大きいですか。

（２）
図形アと図形イの面積が等しくなるのは２つの点が動き始めてから何秒後ですか。

＠解説＠
（１）

12秒後なので、ＰＱは正方形を縦に真っ二つする。
アの高さは２つの直角三角形の相似から、16×12/24＝８ｃｍ
ア…12×８÷２＝48ｃｍ²
イ…（３＋12）×８÷２＝60ｃｍ²
よって、イの方が12ｃｍ²大きい。

（２）
アとイの数量変化を見極める。
イは長方形に広がっていくが、アは台形で広がっていく。
前問の12秒後から考える。

12秒後はともに高さが８ｃｍ。
ＰＱを右にスライドすると、高さ８ｃｍの長方形の面積は等しい。
ということは、赤い斜線がついた直角三角形の部分だけ、アの面積がイより大きくなる。
12秒後でイがアより12ｃｍ²大きくなるので、アとイの面積が等しくなるときは、
赤い斜線の直角三角形が12ｃｍ²になったとき。

直角三角形の横：高さは、24：16＝③：②である。
③×②÷２＝12
③×②＝24
③＝６ｃｍ、②＝４ｃｍのときに等式が成り立つ。
ＰとＱは毎秒１ｃｍ動くので、アとイの面積が等しくなるのは、
12＋６＝18秒後
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