2019年度 豊島岡女子学園中学入試問題3回目【算数】大問6解説

底面が正方形である正四角すいA-BCDEがあり、辺AB、AC、ADの真ん中の点をそれぞれF、G、Hとします。この正四角すいA-BCDEを机の上に置き、平面で切り取ったときに残った立体を考えます。
この立体を、上から見た図を正方形のマス目の方眼紙にかきます。例えば3点F、G、Hを通る平面で切り取ったときに残った立体を上から見ると<図1>のようになり、3点F、G、Dを通る平面で切り取ったときに残った立体を上から見ると<図2>のようになります。ただし、図の中の○は底面からの高さが同じ点を表すものとします。

(1)
AF、AGの真ん中の点をそれぞれM、Nとし、3点F、G、Hを通る平面を(あ)、3点M、N、Dを通る平面を(い)とします。正四角すいA-BCDEを2つの平面(あ)、(い)で切り取ったときに残った立体を上から見た図として最もふさわしいものを①~④から選びなさい。

(2)
正四角すいA-BCDEをいくつかの平面で切り取ったときに、残った立体を上から見ると<図3>のようになりました。このとき、元の正四角すいA-BCDEの側面だった部分を<図4>の①~⑥の中からすべて選びなさい。

(3)
下の〔 ア 〕、〔 イ 〕に当てはまるものを①~⑨からそれぞれ選びなさい

「正四角すいA-BCDEをいくつかの平面で切り取ったときに、残った立体を上から見た図が、<図5>のようになることはない。その理由は、〔 ア 〕が同じ平面の上の点ではないからである。なお、<図5>で〔 イ 〕が結ばれていると、残った立体を上から見た図になる」

①4点D、E、K、J ②4点B、C、J、I ③4点E、B、I、K
④3点C、D、J   ⑤3点J、K、I   ⑥2点E、I
⑦2点D、K     ⑧2点B、K     ⑨2点C、I


@解説@
(1)

こんな感じで2つの面を切断。

↑面ACD方向から。
計算するまでもなく、GHとNDの交点はGHの中点より右側にくる。

(2)

白丸○は同じ高さの点なので、①は底面と平行。
①の三角形の頂点の場所に注目。
正方形の中央と、正方形の中央~辺までの中点に頂点があるということは、
図1のようにF、G、Hを通る平面(正四角錘の高さの半分)で切断されたということ。

青線のラインが①と同じ高さになるはず。
この内側を侵食する④・⑤・⑥は、①の高さの平面からさらにカットしたので、
元の正四角錘の側面ではない。
②、③は白丸から底面の1辺EB、EDに向けて面が伸びているので、
元の正四角錘の側面である。
②、③

(3)

ぱっと見て、B、C、J、Iに違和感を覚える。
IとJが同じ高さにあるので、IJからJ→C方向に切り込みを入れると、I→B方向にいかない。これはIから出発したとき、Bの位置がIJの平行線よりも手前にあるから。
この矛盾を解消するには、ICに線を結ぶ。
ア…②、イ…⑨
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