2022年度 聖光学院中学過去問【算数】大問5解説

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(1)

長さ27cmの直線AB上を、長さ9cmの2直線P、Qが移動することを考えます。

(ア)
図1のように、直線Pは左端が点Aに、直線Qは右端が点Bにつくようにおかれています。

直線Pはある時刻に毎秒1cmで点Bに向けて移動を開始し、右端が点Bについたら止まります。直線Qは、直線Pと同時に毎秒2cmで点Aに向けて移動を開始します。直線Qは左端が点Aについたらすぐに、点Bに向けて移動を開始し、右端が点Bについたら止まります。
このとき、2直線P、Qが移動を開始してからの時間(秒)と、P、Qが重なっている部分の長さ(cm)の関係を表すグラフを、解答欄にかき入れなさい。ただし、グラフの横軸の1目盛りは1秒、縦軸の1目盛りは1cmとします。

(イ)
図2のように2直線P、Qがともに左端が点Aにつくようにおかれています。

直線Pはある時刻に毎秒1cmで点Bに向けて移動を開始し、右端が点Bについたら止まります。直線Qは、直線Pと同時に毎秒2cmで点Bに向けて移動を開始します。直線Qは右端が点Bについたらすぐに、点Aに向けて移動を開始し、左端が点Aについたら止まります。
このとき、2直線P、Qが移動を開始してからの時間(秒)と、P、Qが重なっている部分の長さ(cm)の関係を表すグラフを、解答欄にかき入れなさい。ただし、グラフの横軸の1目盛りは1秒、縦軸の1目盛りは1cmとします。

(2)
図3のような、1辺の長さが27cmの正方形ABCDの中を、1辺の長さが9cmである2つの正方形R、Sが一定の速さで移動することを考えます。

はじめ、正方形Rは左下の頂点が点Aにあり、点Aを含むRの2辺と正方形ABCDの2辺が重なるようにおかれています。ある時刻に、正方形Rは点Cに向けて移動を開始します。Rの対角線の交点が直線AC上にあり、Rの辺が正方形ABCDの辺と平行になるように移動をし、Rの右上の頂点が点Cにつくまで、18秒間で移動をします。
また、正方形Sは右下の頂点が点Bにあり、点Bを含むSの2辺と正方形ABCDの2辺が重なるようにおかれています。Rと同時に、正方形Sは点Dに向けて移動を開始します。Sの対角線の交点が直線BD上にあり、Sの辺が正方形ABCDの辺と平行になるように移動をし、Sの左上の頂点がDについたらすぐに点Bに向けて移動を開始し、Sの右下の頂点が点Bにつくまで、18秒間で移動をします。

(ウ)
移動を開始してから5秒後について、2つの正方形R、Sが重なる部分の面積は何cm2ですか。

(エ)
2つの正方形R、Sが重なる部分が正方形になるのは、移動を開始してから〔 〕秒後です。
(1)のグラフを利用して、〔  〕にあてはまる数として考えられるものをすべて答えなさい。


@解説@
(1)ア

PとQが重なり始めるのは、9÷(1+2)=3秒後

後ろの点が出会うまでPとQは重なる。18÷(1+2)=6秒後
中点同士が重なる3秒後にPとQは完全に一致して重なりは9cm。
その3秒後にQの左端がAに着いて、Pとの重なりはちょうど0cmとなる。

ここから追いかける展開になる。重なりは徐々に増えていく。
9÷
(2-1)=9秒後にPとQの右端が同時にBへ到着する。
まとめるとこうなる。



9秒後にQがPを完全に追い越したとき、Qの右端がBに着く。
15秒後にPとQの重なりが0cmになる。

(2)ウ

2つの正方形が斜めに移動する。
Rの右上の頂点がCに到着するまでが18秒。
Sの左上の頂点がDに着き、再び同じ地点に到着するまでが18秒。
何か見え覚えのある動き。。

9cmずつで区切って見ると、前問の様子と酷似している。
横の辺()だけを見ると9cmずつで、あいだも9cm。
毎秒1cmのR
はCまでだが、毎秒2cmのSはDに着いて戻ってくる。
(1)アと一緒!

今度は縦の辺()だけを見る。
最初RとSが同じ位置にあり、毎秒1cmのRは行きだけだが、
毎秒2cmのSは行って戻ってくる。(1)イと一緒!!
つまり、(2)は(1)のPとQの動きを2次元化したもの
2つのグラフを重ねて5秒後をみると、4cmと6cm。
重なる部分の面積は、4×6=24cm2

@余談@

本当か?と疑い深いサボは調べてみました。
4×6=24cm2であってました。


仕組みさえわかってしまえば、すぐ解ける。

正方形は縦と横の長さが等しい⇒重なった部分の縦と横の長さが等しい。
0cmでない交点を求めればいい。
上下の合同な三角形に注目して、
3と6の中点→4.5秒後
12と15の中点→13.5秒後
4.5秒後と13.5秒後
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