2023年度 海城中学過去問2回目【算数】大問4解説

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(1)

図1は正八角形を4本の線で分けたものです。
アの部分とイの部分の面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

(2)
図2のように正八角形と直線があります。正八角形の1辺が直線上にあるとき、その右側にある頂点を中心に、次の1辺が直線上にくるまで回転させることを「ころがす」ということにします。正八角形の1つの頂点Pを、直線上の点Aからはじめて、1回ころがすごとに、頂点Pが移った先をB、C、D、E、F、G、Hとすると、図3のようになります。
もとの正八角形と八角形ABCDEFGHの面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。


@解説@
(1)

↑この分割は押さえておきたい。
アは正八角形の1辺を斜辺とする直角二等辺三角形。
イはを1辺とする正方形。これを4分割するとアと合同の直角二等辺になる。
ア:イ=1:4

(2)
面食らう(;`ω´)

回転の中心から各点を結んでみる。(回転する角=中心角は45度)
直線上の辺は、いずれも正八角形の1辺で長さが等しい。

正八角形の1辺と対角線をもとに●▲×を2個ずつあてはめると正八角形になる
残りの二等辺三角形たちをどうすべきか…。

は底辺と高さが一緒なので等積を正八角形の上側に移動する。

↑記号を打ちました。
BJとCLは平行。Kを通る平行線をひき、BCとの交点をIとする。
JK:KL=1:1から、IはBCの中点である。
△BKCを等積変形すると△IJLとなる。

ここで△IJLと△DNMに着目する。
Iは正八角形の高さの半分
△IJLの底辺を半分、高さを2倍すると△DNMになる→△IJLと△DNMは等積×
正八角形を左のように3分割すると、
(ア×2+★):(ア×4+★★):(ア×2+★)=1:2:1
長方形の対角線で区切ると、正八角形が×で4等分される
△IJLと△DNMは正八角形の4分の1(×)だから残りが
埋まる。
MNの右側も同様にすると、八角形ABCDEFGHは正八角形3個分。
1:3
*良い解法を編み出した方は、下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願いますm(_)m
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