2020年度 久留米大学附設高校過去問【数学】解説

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60分100点満点

大問1(小問集合)

(1)
(x+3y):(4x-2y)=3:5 …①
3x-5y=12 …②

①内項と外項の積より、
3(4x-2y)=5(x+3y

12x-6y=5x+15y
7x=21y
x=3y …③

②に代入。
3×3y-5y=12
4y=12
y=3
③に代入。x=3×3=9
x=9、y=3

(2)
高校レベルに突っ込んでる(;’∀’)
対称式を使います。
a+b=(√3+√15)+(√3-√15)=2√3
ab=(√3+√15)(√3-√15)=32-152=-12
式の変換ではa+bとabだけの形に持っていく。

*a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab

(3)

△AEOは半径より二等辺→∠EAO=(180-100)÷2=40°
O’Dに補助線
半径と接線は直交するので、∠ADO’=90°
△ADO’の外角定理から、∠DO’B=40+90=130°
△O’DBも半径より二等辺→∠DBO’=(180-130)÷2=25°
△ADBで外角定理→∠BDE=40+25=65°

(4)
(p、q)=(19、1)(18、2)(17、3)…(11、9)の9通り。

1辺が√pと√qの正方形があり、2つの面積の合計は20で一定。
このとき、√p+√qの長さがMaxになるのはどういうときだろう?(‘Д’)
…勘のイイ人はすぐ思いついてしまう(^^;

極端なケースを想定する。
条件はq>0だが、仮にq=0にしてpの面積を20とすると、√p=√20
p>qを無視して、仮にp=q=10とすると、√p+√q=√10+√10=2√10=√40
√20<√40だから、pとqの面積が等しい場合に近いほど、長さの和が長くなるはず
ということは、√p+√qにおいて最も値が大きいのは√11+√9、
2番目は√12+√8、3番目は√13+√7となる。
(p、q)=(13、7)

(5)
難しい(´゚ω゚`;)
4m3+n2=2020
2=2020-4m3
2=4(505-m3
左辺のn2が平方数。
4も平方数なので、505-m3も平方数になるはず。
3乗が曲者だが…8×8×8=512なのでmは7以下
m=1⇒505-1=504×
m=2⇒505-8=497×
m=3⇒505-27=478×
m=4⇒505-64=441=21×21〇
m=5⇒505-125=380×
m=6⇒505-216=289=17×17〇
m=7⇒505-343=162×
*20までの平方数は暗記しておくのがベター。
m、nは2組しかないとあるので、もう1個がでれば終了。

nの値は素因数に注目。(4=2×2の2だけを抜き出す)
m=4のとき、n=2×21=42
m=6のとき、n=2×17=34
(m、n)=(4、42)(6、34)
他に良い解法を編み出した方は、ぜひお問い合わせかコメント欄でお知らせ願いますm(_)m

大問2(関数)

(1)
Aはy=ax2とy=a/xの交点。
ax2=a/x ←両辺をx倍
ax3=a ←両辺を÷a
3=1
高2で虚数iを用いて三乗根ω(オメガ)を習いますが、
中学の範囲では□×□×□=1にあてはまる数は1しかないと感覚で答えるしかないと思う。
x=1
y=ax2に代入して、
A(1、a)

(2)
直線PQの式をy=ax+bとする。
PとQはy=ax2とy=ax+bの交点。
ax2=ax+b
ax2-ax-b=0
ここで解の公式を適用。

 求めたいのはp+qの値。pは負、qは正だから…

(3)
pとqの座標の距離はq-p
Rのx座標はpとqの中点だから、
pから(q-p)/2を足せばいい。
p+(q-p)/2
=(2p+q-p)/2
=(p+q)/2=1/2

これをy=a/xに代入。
Rのy座標は、y=a÷1/2=2a
R(1/2、2a)

(4)
bがわかる。

y=ax+bの傾きaは右に1いくと上にaあがる
Rから切片に移動すると、下に1/2a、左に1/2。
ここから切片は、2a-1/2a=3/2a

PとQはy=ax2とy=ax+3/2aの交点だから、
ax2=ax+3/2a
2-x-3/2=0
2x2-2x-3=0
解の公式を適用、b=2b’が使える。
x=(1±√7)/2
p<0、q>0だから、p=(1-√7)/2、q=(1+√7)/2

(5)

AP=AQなので、△APQは二等辺三角形。
頂角Aから底辺PQの中点にあるRを結ぶとAR⊥PQ
ARの傾きは、(a-2a)/(1-1/2)=-2a
2本の直線が直交するとき、傾きの積は-1
PQの傾き…-1÷-2a=1/(2a) ←aは分母にある
これがy=ax+3/2aの傾きaと同じ。
a=1/(2a) ←両辺を2a倍
2a2=1
2=1/2
a>0より、a=√2/2


大問3(確率)

(1)

aが3以上になって、切片bが1以上となる。切片bは6まで許容。
(a、b)=(3、1)(4、2)(5、3)(6、4)
4通り

(2)

直線PQではなく線分PQに注意!(`ω´)
y=2x2で線分Pに触れる。
ということは、これより開きが大きくなるy=x2では共有点なし。
c=2~6→
5通り

(3)

1≦b≦6より、
(a、b)=(1、6)(2、4)(3、2)で3通り。
放物線はy=2x2しかない→c=2で1通り。
全部で6×6×6通りなので、
(3×1)/(6×6×6)=
1/72

(4)
cに1~6を代入して、x=2のときのy座標で場合分け。
◆c=1、y=4
(a、b)=(1、2)の1通り。
◆c=2、y=8
前問から3通り。
◆c=3、y=12
(3、6)(4、4)(5、2)の3通り。
◆c=4、y=16
(5、6)(6、4)の2通り。
◆c=5、y=20
y=6x+6にしてx=2を代入すると18。
yの最大値は18なので無い。
◆c=6、y=24
同様に無い。
計9通り。
9/(6×6×6)=
1/24

(5)

y=ax+bは右上に伸びるので、x<0の格子点に注目する。
(-1、1)か(-2、4)しかない
なぜなら、切片bは1~6の範囲で、(-3、9)だと6を超えてしまうから。
まず、(-1、1)を基準に検証。
◆傾き1
(a、b)=(1、2)
傾き1は45度線で格子点を通る。〇
◆傾き2
(a、b)=(2、3)
y=x2とy=2x+3の交点を求める。
2=2x+3
2-2x-3=(x+1)(x-3)=0
x=-1、3でOK。〇
◆傾き3
(a、b)=(3、4)
2-3x-4=(x+1)(x-4)=0OK
◆傾き4
(a、b)=(4、5)
2-4x-5=(x+1)(x-5)=0OK
◆傾き5
2-5x-6(x+1)(x-6)=0OK

次に、(-2、4)を基準とする。
傾き1で(1、6)しかない。
y=x2とy=x+6の交点座標は…
2-x-6=(x+2)(x-3)=0OK
6通り

大問4(平面図形)

(1)

↑PAが直径のとき。Mが中心O。
直径に対する円周角は直角なので、∠ABP=90°
△PMN∽△PABより、MN=4÷2=2

(2)

直径に対する円周角で∠PAB=90°
△PBAは3:4:5の直角三角形。
面積は3×4÷2=6
MP=3÷2=3/2

△PBAと△PMNの面積比を求める。
面背比は辺の比の2乗。
2:(3/2)2
=25:9/4=100:9
よって、
△PMNの面積は、6×9/100=27/50

(3)
エエエ:(っ`ω´c):

適当に調べてみると左のところに集まっている・・。
AとCのあいだっぽい。

BCは直径。これに対する円周角である∠BPC=90°
同位角が等しく、CP//MN
MNとACの交点をQとする。
CP//MNから2角が等しく、△ACP∽△AQM
AQ:QC=AM:MP=1:1
定点QはACの中点にある。

(1)(2)の図から直線MNを描いてQの位置を探るのが良かったかな?


大問5(空間図形)

(1
問題文に数字が2つしかない。。
球の半径が1なので、球と正四角錘が接するポイントを探す。

ABの中点をEとする。Eが接点
△OHEで三平方。
HE2=12-(√2/4)2
1-1/8=7/8
HE>0より、HE=√14/4

△HEAは直角二等辺だから。AH=
√14/4×√2=√7/2

(2)
OH=√2/4、AH=√7/2
△OAHで三平方。
OA2=(√2/4)2+(√7/2)2=15/8
OA>0で、OA=√30/4

前問のEを使う。
球面SとPAの接点がQ。
Eも球面上にあるABとの接点。
△APBで球面SはAP上でQと、AB上でEと接する。
そして、円外の点から接点までの接線の長さは等しい
QA=EA=√14/4

(3)
(2)と同じ、2本の線分の長さを求めるが、
わざわざx、yに置き換えているということは連立を組めということ。
POとPQを1辺とする三角形で相似関係を見つける。

ズバリ、△PAH∽△POQ
PO:OQ=PA:AHから、
√7/
2x=y+√14/4 …①
PQ:QO=PH:HAから、
√7/2y=x+√2/4 …②

これを解けばいいが、計算処理がツライ(;´Д`)
以下、代入法。

(*‘ω‘ *)キッツー
x=3√2/2、y=√14/2

(4)
PA=PQ+QA=√14/2+√14/4=3√14/4

球面Sの中心をRとする。
△APEで三平方→PE=√7
△APE∽△RPQよりQRの長さは、

r=√7/4

@データ@
英国数理社各100点の500点満点
合格最高点348点、合格最低点257点
総合平均点(合格者)293点(受験者)239点
6割↑は欲しい。
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QUIZ…☆4以上はムズいよ!
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