2020年度 早稲田中学過去問【算数】大問3解説

三角すいABCDの頂点Aに点Pがあり、点Pは1秒ごとに他の頂点に移動します。
たとえば、2秒後に点Pが頂点Aにある移動の仕方は全部で3通りです。
次の問いに答えなさい。

(1)
3秒後に点Pが頂点Aにある移動の仕方は全部で何通りですか。

(2)
4秒後に点Pが頂点Aにある移動の仕方は全部で何通りですか。

(3)
5秒後に点Pが頂点Aにある移動の仕方は全部で何通りですか。

(4)
9秒後に点Pが頂点Aにある移動の仕方のうち、3秒後に頂点Bにあり、
6秒後に頂点Aにある移動の仕方は全部で何通りありますか。


@解説@
(1)
1秒後、Bに行くとする。

2秒後にAへ向かうと、3秒後にAへ戻らない。
横方向にCかD、3秒後にAに戻る→計2通り。
1秒後にC・Dに行っても同様。
2×3=6通り

(2)
Aから下界にいくのは3通り。
下界での横方向は隣に行く→2通り。

4秒間のルートを考える。最後は上(A)に戻ってくること!
下→横→横→上…3×2×2=12通り
下→上→下→上…3×3=9通り
計12通り

(3)
5秒間のルートは、
下→横→横→横→上…3×2×2×2=24通り
下→上→下→横→上…3×3×2=18通り
下→横→上→下→上…さっきと同じで18通り
24+18+18=60通り

(4)
Aから3秒後にB。
下→上→下(B)…3通り
下→横→横…B→C→B、B→D→B、C→D→B、D→C→Bの4通り
計7通り

3秒後にBからAへ戻る。
正四角錘とすると、回転させても対称性から位置関係が同じ。
3秒後にA→Bで7通りなのだから、3秒後のB→Aも同じ7通り。

さらに3秒後のA→Aは(1)で求めた通り、6通り。
したがって、7×7×6=294通り
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