2021年度 秋田県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

指示された8問について答える。
(1)
4-(-6)×2
=4+12=16

(2)
(x-2y)/2-(3x-y)/6
={3(x-2y
)-(3x-y)}/6
=-5/6y

(3)
(x-3y)(x+4y)-xy
=x2+xy-12y2-xy
=x2-12y2

(4)
2+2a
=a(a+2) ←ここで代入
=(√3-1)(√3+1)
=(√3)2-12
=3-1=2

(5)
3/2x+1=10
3/2x=9 
x=9×2/3=6

(6)
紅茶450mLに混ぜるべき牛乳の量は、450×3/5=270mL
足りない分は、270-180=90mL

(7)
x+4y=-1 …①
-2x+y=11 …②

①×2+②をすると、9y=9
y=1
①に代入。x=-5
x=-5、y=1

(8)
2x2-5x+1=0
解の公式を適用して、x=(5±√17)/4

(9)
平均値…(1×1+2×2+3×3+4×4+5×6+6×3+7×1)÷20=85÷20=4.25冊
中央値…20人の場合、10番目と11番目の平均で4.5冊。
最頻値…5冊

(10)
10<√n<11 ←2乗
100<n<121

√(7n)の根号を外すには、7nが平方数となればいい。
すなわち、n=7×(平方数)
100に近い7の倍数は105(=7×15)。
次の7の倍数は112(=7×16)で16が平方数。
n=112

(11)
外角定理より、x=44+62=106°

(12)
5×5×π×240/360=50/3πcm2

(13)

△ABOは正三角形→∠AOB=60°
この円周角にあたる∠ACB=60÷2=30°
△ABCの内角より、∠BAC=180-(78+30)=72°

(14)

ABを軸とした回転体:BCを軸とした回転体
=3×3×π×2×1/3:2×2×π×3×1/3
=6π:4π=3:2
3/2倍

(15)
立方体の体積が1000cm3⇒立方体の1辺は10cm。

DからEGに垂線、足をIとする。
HからDIに垂線、足をJとする。
三角錐H-DEGの体積は、10×10÷2×10÷3=500/3cm3

△ADEは1:1:√2の直角二等辺三角形→DE=10√2cm
△DEGは1辺が10√2cmの正三角形
△DEIは1:2:√3の直角三角形→DI=5√6cm
△DEGの面積は、10√2×5√6
÷2=50√3cm3
HJ=500/3×3÷50√3=10√3/3cm

@別解@

立方体の対角線HB=√(102+102+102)=10√3cm
断面DHFBで捉える
△DBJ∽△IHJで、DJ:JI=DB:IH=2:1

正三角形DEGにおいて、IはEGの中点だからDIは中線。
中線DIをJは2:1に内分するので、Jは正三角形DEGの重心である。
そして、正三角錐H-DEGの頂点Hから底面△DEGにひいた垂線の足

△DEGの重心Jと一致
する。
HJ:JB=1:2だから、10√3×1/3=10√3/3cm

大問2(小問集合2)

(1)①
答案では求める過程も記述する。
x=1のとき、y=6
x=3のとき、y=2
変化の割合…(yの増加量)÷(xの増加量)
=(2-6)÷(3-1)=-2



a>0で下に凸、a<0で上に凸。
aの絶対値が大きくなるほど形がすぼまる。
c<d<b<a

(2)①

10マスで1周期。
6行目1列目は30。


3列目の数字を拾うと、【3、8、13、18、23…】
初項3、公差5の等差数列。
3+5(n-1)=5n-2

(3)

∠BCD=∠BPDとなるような、辺CA上のPを作図する。
弧BDに対する円周角を考える。
B・C・D・Pは同一円周上にある→円の作図を試みる。
直径に対する円周角は直角であり、∠BDC=90°だから、
直角三角形BCDの斜辺BCが円の直径にあたり、その中点が円の中心Oである。
①BCの垂直二等分線→交点が中心O
②円の作図。ACとの交点がP。

(4)

混乱したら図を描いてみよう。
速さがわかっているので、距離と時間で等式を立てる。
ア…30、イ…x/12+y/9、ウ…3、エ…12x+9y


大問3(平面図形)

(1)
三角形と比の定理。
共通角+DE//BCの同位角=2角相等→△ABC∽△ADE

(2)①
四角形EFGHが平行四辺形である証明。

AE=EB、BF=FC
中点連結定理より、EH:BD=FG:BD=①:②
EH=FG=①

EH//BD//FGだから、EH//FG
1組の対辺が平行で、かつ長さが等しく、四角形EFGHは平行四辺形である。


菱形は4辺の長さが等しい

EHとFGの長さはBDの長さによって決まる。
EFとHGの長さはACの長さによって決まる。
AC=BDであれば、EF=FG=GH=HEとなる。

(3)

長方形EFGHの面積を求めたい…。
△ABDと△CBDの面積は等しいとは限らないが、●▲★■の比の関係は同じ。

四角形ABCDをに分けたうちのは、
△ABDを●▲★■に分けたうちのと割合が一緒。
△ABDの面積(全体)を18cm2と仮定したときのを求めればいい

△AEHの面積比…×【2】
△ABDの面積比…×【3】
四角形EBDHの面積比…

直角を頼りに、両サイドの三角形を合わせる
△EBD…×【1】
求めたい長方形の面積比は、
よって、18×/=8cm2

大問4(確率&整数)

(1)①
全体→5×5=25通り
x>yとなる(x、y)の組み合わせを調べる。
x=5のとき、yは4通り。
x=4のとき、yは3通り。
x=3のとき、yは2通り。
x=2のとき、yは1通り。
1+2+3+4=10通り
確率は、10/25=2/5

@別解@
x=yとなる確率は1/5。
(1回目に”何か”を出す。2回目にその”何か”が出るのは1/5)
x>yとx<y(xがyより大きいか小さいか)は、それぞれ同じ確率になる。
よって、(1-1/5)÷2=2/5


今度は同時に2個を取り出す。
全体…52=10通り
【少なくとも1個は偶数=全体-2つとも奇数】
2つとも奇数…3つの奇数から2つをとる。32=3通り
少なくとも1個は偶数…10-3=7通り
確率は7/10。

(2)ア
100a+10b+c-(a+b+c)
=99a+99b
=9(11a+b)
11a+bは整数だから、9(11a+b)は9の倍数である。


大問5(関数)

Ⅰ、Ⅱから指示された問題を答える。
(1)

Bから垂線、x軸との交点をDとする。
AD=8-2=6cm
△ADBで三平方→AB=3√5cm

(2)
答案では求める過程も記述する。
B(2、3)⇒A(8、0)
右に6、下に3だから、傾きは-3/6=-1/2
*変化の割合…(yの増加量)÷(xの増加量)

y=-1/2x+bにA座標を代入。
0=-1/2×8+b
b=4
y=-1/2x+4

(3)

CB:BA=2:6=【1】:【3】
△COPと△AOPは底辺OPを共通とするので、
面積比は高さの比にあたるCB:BA=

△BAPは△COPと等積だから面積は
△BAO=
△BAO:△BAP=OB:BP=〔2〕:〔1〕
Pのx座標は、2×3/2=3

(1)
答案では求める過程も記述する。
Cはy=3x-5とx軸との交点。
0=3x-5
x=5/3
C(5/3、0)

B(0、3)⇒C(5/3、0)
傾きは、-3÷5/3=-9/5
切片はBのy座標だから、y=-9/5x+3

(2)①
BD=3-(-5)=8

DPを斜辺とする直角三角形で三平方の定理。
直線(イ)の傾きが3なので、横をxcmとすると縦は3xcm
2+(3x)2=82
10x2=64
x>0、x=4√10/5



ポイントは他とくっつける。
四角形AQODをつっつけると、△ABDと△PODの面積が等しい
底辺はBD:OD=8:5だから、高さは逆比で5:8
(y軸~A、y軸~Pの距離が5:8になる)
Pのx座標は、3×8/5=
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