2021年度 聖光学院中学過去問【算数】大問4解説

ある平面上を点Pが次の〔規則1〕にしたがって移動することを考えます。

〔規則1〕
①点Pはまっすぐ3cm移動します。
②点Pは、それまで進んでいた方向から反時計回りに90度回転した方向に4cm移動します。
③点Pは、それまで進んでいた方向から反時計回りに〔 ア 〕度回転した方向に5cm移動します。
④点Pは、それまで進んでいた方向から反時計回りに〔 イ 〕度回転した方向に3cm移動します。
⑤以降、点Pは②~④の移動を繰り返します。

すると、点Pは図1のような直角三角形ABCを描きます。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
〔 ア 〕+〔 イ 〕の値を答えなさい。

次に、同じ平面上を点Qが次の〔規則2〕にしたがって移動することを考えます。
ただし、〔規則2〕の〔ア〕〔イ〕と、〔規則1〕の〔ア〕〔イ〕には
それぞれ同じ値が入るものとします。

〔規則2〕
①点Qはまっすぐ4cm移動します。
②点Qは、それまで進んでいた方向から反時計回りに90度回転した方向に3cm移動します。
③点Qは、それまで進んでいた方向から反時計回りに〔 ア 〕度回転した方向に5cm移動します。
④点Qは、それまで進んでいた方向から反時計回りに〔 イ 〕度回転した方向に4cm移動します。
⑤以降、点Qは②~④の移動を繰り返します。

ここで、点Qが①の移動をする前にいた点をA、移動した後に着く点をB、②の移動を1回した後に着く点をC1、2回した後に着く点をC2、・・・③の移動をした後に着く点をA1、2回した後に着く点をA2、・・・④の移動を1回した後に着く点をB1、2回した後に着く点をB2、・・・とすると、点Qは図2のような図形を描くことが分かります。

(2)
直線BC1と直線C22は点Dで交わります。BDの長さは何cmですか。

(3)
点C1と点A1を結ぶ直線上の点Eと、点C2と点A2を結ぶ直線上の点Fについて、
EFの長さとして考えられる値のうち、最も小さいものは何cmですか。

(4)
点Qが点Aを出発してから合計2021cm移動すると、点Qが描く図形によって、
平面は何個の部分に分かれますか。
たとえば、点Qが点Aを出発してから点B1まで移動すると、
平面は三角形の内側と外側の2個の部分に分かれます。
また、点Qが点Aを出発してから点A2まで移動すると、平面は5個の部分に分かれます。


@解説@
(1)

△ABCの内角より、×=90°
ア+イ=180×2-(×)=360-90=270°

(2)

アとイの角度を変えないということは、×の同じ角度。
ここから辺の比が3:4:5の直角三角形の相似が活用できる
11とA22の交点をEとする。
EB1=3×3/4=9/4cm
1E=4-9/4=7/4cm

ABとA11、A22の交点をF、Gとする。
等しい同位角を頼りに、FA1//GE、FG//A1
→四角形FA1EGは2組の対辺が平行な平行四辺形
対辺が等しいからFG=7/4cm

1B=3cm、△C1BFと△C21Eは1辺と両端角が等しく合同
FB=9/4cm
GB=9/4-7/4=1/2cm

△GBDの内角も×-90°で辺の比が3:4:5だから、
BD=1/2×4/3=2/3cm

@別解@

11=5cmを斜辺とする直角三角形より、A1E=3cm、C1E=4cm。
EB1=4-3=1cm
これを上にスライドしてDF=1cm
△C2FDの辺の比3:4:5より、C2F=1×4/3=4/3cm

また、BE=C1E-C1B=4-3=1cm
DB=C21-C2F-BE=3-4/3-1=2/3cm

(3)

前問でE・Fを使ってしまった:( ´ω` ):
ようは直線A11と直線A22の距離を求めればいい
GからA11に垂線をひき、交点をHとしたときのGHの長さを求める。

△GHFの内角も×-90°で辺の比が3:4:5。
GH=7/4×4/5=7/5cm

(4)
次のAまで点Qは4+3+5=12cm動くので、
2021÷12=168…5
168+5cm分動く。

1=2個
2=5個
3=8個…
初項が2、公差が3の等差数列。
168=2+(168-1)×3=
503個
余分の5cmでは新たに平面を分かつことができない。
したがって、503個。

@余談@
では、平面が504・505・506個分かれる瞬間は点Qがあと何cm動いたときか?

△C1EA1の辺の長さは、C11=5cm、A1E=3cm、C1E=4cm。
EB1=4-3=1cm
これを上にスライドしてDF=1cm
△C2FDの辺の比より、C2D=1×5/3=5/3cm

DGは△DBGの辺の比から、1/2×5/3=5/6cm

BE=C1E-C1B=4-3=1cm
これを横にスライドしてGI=1cm
△GIHの辺の比から、GH=1×5/4=5/4cm

2021cmはA168+5cmだったので、B12上のBの右側に点Qがいる。
あとは足りない部分を足せばいい。
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