2021年度 山口県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均25.7点(前年比;+4.4点)
問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外はなし。

大問1~3は共通問題。

大問1(計算)

(1)
-7+9
=2

(2)
15/2×(-4/5)
=-6

(3)
10a-(6a+8)
=10a-6a-8
=4a-8

(4)
27ab2÷9ab
=3b

(5)
3(2x-y)+4(x+3y)
=6x-3y+4x+12y
=10x+9y

大問2(小問集合)

(1)
5で切り替わる。
小数第1位を四捨五入して40になる範囲は、39.5以上40.5未満。
39.5≦x<40.5

(2)
整数⇒正の整数・
0・負の整数
整数どうしの和差積は必ず整数になる。
除算は割り切れなかったら整数にはならない。

(3)
反比例はxとyの積が比例定数aで一定。
a=3×2=6
y=6/x

(4)
96×3÷(6×6)=8cm

大問3(データの活用)

(1)
最頻値(モード)は最もあらわれている値。
40~50cmの階級値⇒45cm

(2)
表3では階級の幅を10cmに統一したが、表1・2だけで解ける。
(空欄には12+10=22と7+2=9がはいる)
おのおのの相対度数を算出し、比較すれば足りる。
Aの相対度数…4/25=16/100=0.16
Bの相対度数…9/75=3/25=12/100=0.12
0.16>0.12ゆえに、A中学校の方が60cm以上70cm未満の生徒の割合が大きい。

大問4~7は選択問題。

大問4(確率)

(1)
あたる確率が2/7。
あたらない確率は、1-2/7=5/7
サービス問題!!

(2)
イ:試行回数を増やしていくと、aが出る確率a/(a+b)は1/2に近づく。
 大数の法則という。
ウ:確率に出てくる『同様に確からしい』とは、起こりえる結果の可能性が同じこと。
 あくまで可能性なので絶対ではない。
 aの値と投げる回数が等しくなる=すべて表がでる確率が0になるとは言い切れない。 
イ・ウ

(3)
10枚から3枚を取り出す。5352=10通り

和が3の倍数→位の和が3の倍数になる。
(1、2、3)
1を+3して(4、2、3)
2を+3して(1、5、3)(4、5、3)
以上、4通り。
確率は、4/10=
2/5


大問5(方程式)

(1)
14の平方根は±√14。
正の数だから√14。

(2)
2-2x+a=0にx=1+√5を代入。
(1+√5)2-2(1+√5)-a=0
6+2√5-2-2√5+a=0
a=-4

@別解@
解の公式によると、2次方程式の解はx={-b±√(a2-4ac)}/2a
解の1つが1+√5ということは、ルートの中のa2-4acの値が5なので、
もう1つの解は1-√5になる。(±の部分で解が2つに分かれる)

高校の数学Ⅰでは『2次方程式の解と係数の関係』という項目で、
2次方程式ax2+bx+c=0の解をα、βとすると、
になる、というのを習う。
αβ=(1+√5)(1-√5)=1-5=-4=c/a
本問のx2の係数は1だからa=1
c=-4となる。

(3)
大きい方をxとすると、小さい方はx-1。
x(x-1)=3
2-x-3=0
解の公式を適用して、x=(1±√13)/2
小さい数は正の数⇒x-1>0
x>1だから、x=(1+√13)/2。

大問6(関数)

(1)
x軸について対称移動させる。
下に凸が上に凸へ変わるから、y=-5x2
-5

(2)
ア:y=ax2の変化の割合は一定ではない。〇
 xの値がp⇒qに増加するときの変化の割合はa(p+q)で求められる。
イ:x<0のとき、xが増加するとyも増加。×
ウ:x=0のとき、y=0×
エ:傾きaは絶対値が小さくなるほど、グラフは開く。〇
ア・エ

(3)

y=-1/2x2にx=4を放り込む。
A(4、-8)
赤線の三角形が相似。
辺の比は3:4だから、Bのy座標は8×3/4=6

B(-3、6)をy=ax2に放り込んで、
6=9a
a=2/3

y=2/3x2

大問7(平面図形)

(1)
半径の比は2:1。
円の面積はπr2だから、円の面積比は半径rの2乗に相当する。
面積比は4:1。

(2)

O’の半径から、BO’=O’C=2cm
Oの半径から、OB=4-2=2cm
△AOC∽△DOBで、AD:DO==
AD=4×/=8/3cm

(3)

Eを含まない弧FGに対する中心角FOG=55×2=110°
Eを含む弧FGに対する中心角FOG=360-110=250°
∠HJIはこの円周角なので、250÷2=125°

@余談@
解答のプロセスが、円に内接する四角形の対角の和が180°である性質の証明と一緒。

Eを含む弧FG(青い弧)に対する円周角が共通である。
うえのように、平行線を手がかりにKをつくると、
内接四角形EFKGの対角の和から、180-55=125°


大問8~10は共通問題。

大問8(関数2)

(1)

xの増加量は3。
変化の割合が-3なので、yの増加量は3×(-3)=-9
8-9=-1

(2)

切片の差から、a-b=9…②はわかりやすい。

Pのx座標は、y=-x+aにy=0を代入してa。
Qのx座標は、y=2x+bにy=0を代入して、-b/2。
a-(-b/2)=a+b/2=12 …①

①、②の連立を解くと、a=11、b=2
a+b/2=12、a=11、b=2

大問9(平面図形2)

(1)
回転の中心を作図する。

円の半径より回転の中心OからP、Qは等距離にある。
PQの垂直二等分線は、2点P、Qから等距離にある点の集合
PQの垂直二等分線をひき、直線lとの交点がOである。

(2)
△FDA≡△FGBの証明。

対頂角はすぐわかる。
回転移動より△DBE≡△ABC
何の情報を使うべきかだが、求めたいのは△FDA≡△FGBなので、
△DBE≡△ABCに関する対応する辺の情報が使いにくい
(DB=AB、DE=AC、EB=CBを指摘したところで使い道が見出しにくい)
そこで、角度に注目する。
∠EDB=∠CAB(
×

DE//ABより、錯角で∠AGD=∠DBA(×
2つの底角が等しいので、△AFBと△DFGがともに二等辺三角形
FA=FB、FD=FG
2辺とあいだの角が等しいから合同といえる。

大問10(文章題)

(1)
縦に20個、横にx個並べて、xの値を1、2、3、4…と増やしたときに、
比例にならないものを選ぶ。
ア:20個、40個、60個…で比例。〇
イ:6.6xcmで比例。〇
ウ:2×(縦20個分の長さ+横x個分の長さ)=40個分の長さ+2x個分の長さ
 一次関数である。×
エ:(縦20個分の長さ)×(横x個分の長さ)で比例。〇

(2)
答案では求める過程も書く。
横の長さは、6.6×105=693cm
縦の長さは、693-300=393cm

縦に並べる空き缶の個数をxとする。
最初の1個は12.2cm、それ以降のx-1個はあいだの長さを引いた11.9cmずつ増加
12.2+11.9(x-1)=393
11.9x=392.7
x=33
33個

(3)

円がでてきたら、中心から半径を描いてみる!
曲線部分をまとめると、半径3.3cmの円。
真ん中の三角形は3辺がすべて6.6cmの正三角形。
他の四角形は、{360-(120+60)}÷2=90°、半径と接線は垂直であるから、
すべての内角が直角となり、長方形である
直線部分は、6.6cmが3ヶ所。これにつなぎ目の2cmを足す。
6.6π+6.6×3+2
=6.6π+21.8cm
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