2019年度 大分県公立高校入試問題【数学】解説

平均24.7点(60点満点;平均約41%)


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大問1(小問集合)

(1)①  95.9%
-6-1=-7 (サービス問題!

②  83.6%
-32-(-2)3
=-9-(-8)
=-9+8=-1

③  89.0%
6a+b-(3a-5b)
=6a+b-3a+5b
=3a+6b

④  84.0%
(2x+y)/3+(5x-7y)/6
=(4x+2y+5x-7y)/6
=(9x-5y)/6

⑤  63.0%
(√6+√3)2
=6+2√18+3
=9+6√2

(2)  64.0%
x(x-3)=2
2-3x-2=0
因数分解ができないので解の公式。
x=(3±√17)/2

(3)  15.0%!
小数第1位を四捨五入したとき、130となるaの範囲を不等式で表す。
129.5の5を四捨五入すると、繰り上がりで130となる。
130.5の5を四捨五入すると、繰り上がりで131になってしまうのでその手前まで。
よって、129.5≦a<130.5
*四捨五入の近似値は、○≦a<○となる。5に注目するとやりやすい。
129.5≦a≦130.4とする誤答が多かった模様。

(4)  11.8%!
一次方程式。前半はxm、後半は1200-xm。
時間=道のり÷速さ
x/60+(1200-x)/120
=(x+1200)/120分間
*x/60+(1200-x)/120と最後まで計算していない誤答が目立つ。

(5)  49.7%
すべての場合→5×5=25通り

和が3の倍数となる場合を調べる。
3→(1、2)(2,1)
6→(1、5)(5、1)(2、4)(4、2)(3、3)
9→(4、5)(5、4)
計9通り
よって、9/25

(6)  66.8%

円周角定理より、∠BAC=126÷2=63°
外角定理より、ブーメラン型の股の角度は3角の和になる。
∠ABO=126-(63+38)=25°

(7)  2点-9.8%! 1点-1.0%
2つの線分からの距離が等しい。

頭の中でこの図がよぎるようにしたい。
角の二等分線上の点から2本の線分までの距離は等しい。
①ABとCDを延長、交点をつくる。
②角の二等分線を作成、MNとの交点が点Pとなる。

大問2(関数)

(1)  72.8%
y=x+1からAの座標を確定。
A(2、3)
y=a/xに放り込む。
3=a/2
a=6

(2)  36.6%
y=6/aより、B(6、1)
原点0を通るので、y=1/6x

Cはy=x+1とy=1/6xの交点。
x+1=1/6x
x=-6/5
y=-6/5+1=-1/5
C(-6/5、-1/5)

(3)  13.1%!
湾曲部分が厄介。ABに直線をひいてしまおう

つまるところ、面積の等しい2つの図形に湾曲部分を足しても面積は等しくなるので、
△ACBと△ADBの面積が等しい
ABの傾きを求める。
A→B:右に4、下に2だから、傾きは-1/2
CDの傾きも-1/2。
-6/5=-1/2×-1/5+b
b=-4/5
Dのy座標は-4/5。

大問3(数量変化)

(1)  ア:71.4%、イ:55.9%
投影距離の画面の長さの関係をとらえる。

2mと4mがわかりやすい。
投影距離が2倍になれば、画面の長さも2倍。つまり、比例。
ア=1×5/2=5/2
イ=4/3×5/2=10/3

(2)  24.3%!
実際に表でまとめてみよう。

xが2倍になるとyが4倍になっている。
ここから、xとyの関係はy=ax2と推測。
4/3=22
a=1/3
y=1/3x2
試しに他の値を代入してみると、関係性が成り立っている。
*投影距離と縦の長さが比例。投影距離と横の長さ比例。
面積=縦×横だから、投影距離と面積の関係は放物線で上昇するのでは?と考えられる。

(3)  1.6%!!!
1つずつ丁寧に紐解いていく。
前問より、y=1/3x2
投影距離が3/2mのときの画面の面積は、
y=1/3×(3/2)2=3/4m2
面積を2倍にすると3/2m2

このときの投影距離は、
3/2=1/3x2
2=9/2
x>0より、x=3√2/2
投影距離は3√2/2m。

基準では、視聴距離が画面の対角線より長いと見やすいとある。
そこで、画面の対角線に注目する。

縦:横=1:4/3=3:4
縦③、横④とすると、3:4:5から対角線の長さは⑤となる。
投影距離が3√2/2mのときの⑤が答えとなる。

表をみると、投影距離の半分が画面の縦の長さだから、
③=3√2/2÷2=3√2/4
⑤=3√2/4×5/3=5√2/4
したがって、視聴距離は
5√2/4mより長いとよい。
投影距離・画面の面積・縦・横・対角線の関係を適切に把握すること!
*画面のサイズがインチが使われる。
1インチ(inch)=2.54cm
インチは対角線の長さを示す
縦横の比率は3:4が主流だったが、現在は9:16も増えたようだ。

大問4(方程式)

(1)  64.7%
無作為に取り出した150個のうち、5個の印があった。
全部:印あり=150:5=30:1
この比率は母集団も変わらないとみなす。
印は100個つけたので、100×30/1=3000個

(2)①  8.8%!
Aは3000個製造。うち2%にあたる60個が不良品。
Bはx個製造したとする。不良品は0.5%だから、5/1000x個。
不良品の数で等式を作成する
60+5/1000x=(3000+x)×14/1000
60000+5x=42000+14x ←すべてを1000倍。桁ミス注意!
x=2000
Bは
2000個製造した。

@別解@
中学受験の天秤法を使うとラクラク。
問題文を食塩水の濃度問題に置き換えると、

『0.5%の食塩水?gと2.0%の食塩水を混ぜたら1.4%になった。?は何gか。』

支点を1.4%とする。
支点からの距離が3:2なので、食塩水の重さは2:3
?=3000×2/3=2000

②  4.5%!!
連立方程式。
Aをx台、Bをy台とする。
製品の製造個数から、3000x+2000y=18000…①
不良品の個数から、3000x×2%+2000y×0.5%=18000×1%…②

簡単になおすと、、
3x+2y=18…①’
6x+y=18…②’
これを解いて、x=2、y=6
Aは2台、Bは6台。


大問5(空間図形)

(1)  59.9%
△ABCは1:1:√2の直角三角形。
三平方より、AC=6√2
AH=6√2÷2=3√2cm

(2)  46.8%
△OAHで三平方→OH=3√2(△OAHは直角二等辺)
6×6×3√2÷3=36√2cm3

(3)①  15.0%!
あふれた水の体積=正四角錘が沈んだ体積。

体積比は辺の比の3乗
水なし:水あり=3:23-1=1:7
36√2×7/8=63√2/2cm3

②  1.0%!!!
球の半径を求めるので、球の中心点を確定する。

球の中心点は球の断面である、半球の水面の中心にある。
一方、正四角錘OABCDは、その底面ABCDが水面と平行のまま沈ませるので、
A・B・C・Dがそれぞれ半球に接したとき、球の中心点はOH上にくる。
OH上で、かつ水面と交わる交点が球の中心点Qとなる
(水面を断面としたとき、正四角錘の断面である小さな正方形の中心点に等しい)

△QAHに着目。
AH=3√2cm
QH=OH÷2=3√2÷2=3√2/2cm
三平方の定理→QA=3√10/2cm

大問6(平面図形)

(1)  88.1%
中点連結定理の形なので、PQ=AC÷2=3cm

(2)①  3点-8.8%! 2点-2.0% 1点-6.8%
四角形PQRSが平行四辺形である証明。

ACを境に、△ABCと△ADCで中点連結定理が成立する。
PQ//AC//SRとなり、PQとSRはACの半分の長さで等しい。
1組の対辺の長さが等しく、かつ平行だから四角形PQRSは平行四辺形。

②Ⅰ  32.6%!
平行四辺形PQRSが正方形になるための条件を答える。
平行四辺形から正方形に変えるには、隣り合う辺の長さが等しく、かつ直角に交わる
→PQ⊥PS、PQ=PS(イ)

Ⅱ  2点-1.0%!!! 1点-2.2%
指定された作図方法を使うと、四角形PQRSが正方形となる理由を記述する。
変則的な証明問題で難易度は高い:;(∩´_`∩);:

とりあえず、作図してから考える。

AC⊥BD、AC=BD
赤いところ(PQ⊥PS、PQ=PS)が証明したい点。

前問では、△ABCと△ADCで中点連結定理を利用して、
PQ//SR、PQ=SRから、四角形PQRSが平行四辺形と導いた。

△ABDに注目すると、ここも中点連結定理の形になっている。
PSはBDの半分。BD=ACで、ACの半分がPQだから、
これらをつなぎ合わせると、PQ=PSとなる。

角度は平行線を活用する。
AC⊥BDで、AC//PQから、PQ⊥BD。
さらに、BD//PSから、PQ⊥PS。
PQ⊥PS、PQ=PSとなり、正方形の証明が完成する。

*記述の仕方を研究しておこう。以下、公式解答。
△ABCにおいて、点P、Qはそれぞれ辺AB、BCの中点だから、中点連結定理より、
PQ//AC、PQ=1/2AC
△ABDにおいて、点P、Sはそれぞれ辺AB、ADの中点だから、中点連結定理より、
PS//BD、PS=1/2BD

AC⊥BD、PQ//ACより、平行線の同位角は等しいから、PQ⊥BD
また、PQ⊥BD、PS//BDより、平行線の同位角は等しいから。PQ⊥PS

AC=BD、PQ=1/2AC、PS=1/2BDから、PQ=PS

1(3)は中学入試では定番だが、正答率が悪い!(‘д‘⊂彡☆))Д´)パ-ン
作図ももう少しできていいと思う。
大問3は情報整理に追われ、難しかった。
このラインナップで満点を獲得した5人は偉人だね(*’ω’*)w
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