2021年度 北海道公立高校入試過去問・学校裁量問題【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外は相似な図形、円周角の定理、三平方の定理、標本調査。

大問1(小問集合)

(1)
2+3x-1=0
因数分解できないので、解の公式を適用。
x=(-3±√13)/2

(2)
3枚の硬貨の出方は23=8通り
60円未満の方が少ない。60円未満が表となるのは0円・10円・50円の3通り。
60円以上は8-3=5通り
確率は5/8。
ア…8、イ…5、ウ…5/8

(3)
最頻値(モード)が含まれる階級は210~230cm。
その相対度数は、20÷80=0.25

(4)

『BとDが重なる』→BとDが対応する点となるような対称の軸が折り目。
BDの垂直二等分線を作図し、辺AB、BCとの交点がP、Qとなる。

大問2(規則)

(1)
五角形を2個つくる。5+4=9本
3個つくる。9+4=13本
五角形を1個増やすと、ストローは4本ずつ増える。

規則を一般化する。
はじめのストローは5本。
2個目以降は(五角形の個数-1)×4本が追加される。
5+4(n-1)
ア…9、イ…13、ウ…4、エ…n-1

(2)
説明問題。

例題と同じように考える。
うえのように区切ると最初は11本で、8本の固まりがn-1個。
11+8(n-1)

@別解@

最初に3本おき、8本ずつ足していくこともできる。
この場合、8本はn個に相当するので8n+3と式がややスッキリする。


大問3(関数)

(1)
x軸について対称なので、上に凸のグラフに変わる(傾きは負)。
y=-4x2

(2)
yの変域が0以上だから、下に凸のグラフ。
x=3のとき、最大値y=18
y=ax2に(x、y)=(3、18)を代入。
18=9a
a=2

(3)
説明問題。
よくある形式ゆえ解けるようにしておきたい。

AC+BCの最短距離。
Aをy軸について対称移動させたA’とBを直線でひく
A(-2、4)⇒B(3、9)
右に5、上に5だから傾きは1。
A’から右に2、上に2移動して、切片は4+2=6
C(0、6)

大問4(平面図形)

(1)

△CDEは二等辺三角形。
∠CED=(180-30)÷2=75°
∠BEC=180-75=105°

(2)
AD=HBの証明。

問題文に沿って情報を加える。
AD=HBを証明したいので、これらを1辺とし、かつ情報の多そうな三角形に着目する。
△ADEと△HBFの合同を指摘すればいい。

仮定より、DE=BF
AD//BCの錯角で、∠ADE=∠HBF
対頂角とAC//GHの同位角で、∠AED=∠HFB
1辺と両端角が等しく、△ADE≡△HBF
対応する辺は等しいから、AD=HB


大問5(学校裁量問題)

(1)①
最初と最後は思いつきやすいが、初見だとあいだの部分が迷いやすい。

扇形の弧が地面と接しているとき、中心点が通過する部分は
直線になる。
地面は扇形の接線であり、接線と半径は常に垂直である。
接点(地面)から中心までの距離は常に半径の長さで一定となる。

Pが通過する長さは、半径2cm中心角90°の弧2つと、半径2cm中心角120°の弧QRの合計。
2×2×π×1/2+2×2×π×1/3
=10/3πcm



前問と同様に考える。
弧が地面と接するとき、中心が通過する軌跡は直線になる。
本問の図形は、半径が等しい扇形の弧と地面が常に接するので直線になる。

@ルーローの三角形@

お掃除ロボットで
採用されている有名な三角形。
数学のコラムではマンホールの話にもよく出てくる。
マンホールのフタが円形なのは、円の最大幅はどこも同じで、
どんな向きにしてもフタが落下せず、未然に事故を防ぐことができるため。

ルーローの三角形も最大幅が一定である。
コロコロ転がしてもテーブルと床は一定の距離で平行を保つ。

↑ルーローバイクを楽しんでいるおじさん。走りにくそう(;^ω^)
三角形がシンクロしてるのが良い◎

温故知新ラーニングより。
幅が一定である図形を定幅(ていふく)図形といい、
頂点の数が奇数であれば、三角形以外にも様々なルーローの多角形が存在する。

(2)①

切断面は平行を意識する。
ACに平行な線分はEG。長方形AEGCで切られる。
三角柱ABC-EFGを求積すればいい。
4×4÷2×4=32πcm3



錘は柱の体積の3分の1。
四角錘B-EFGHの体積は立方体の1/3倍。
三角錐B-EFGの底面△EFGは正方形EFGHの半分だから、
三角錘B-EFGの体積は立方体の1/6倍。


説明問題。

P;A→B→C(毎秒1cm)
Q;B→C→D→A→B(毎秒2cm)
PとQは正方形ABCDの辺上を動く。
EGとACが平行だから、PQがACと平行になるときを考える
ACは斜め45度線。1回目はQがCに着く前にありそう・・。

PとQの速さの比は1:2。
AP=①とすると、BQ=②
平行線から△ABC∽△PBQ→AP:PB=CQ:QB=①:②
x(①)=10×①/③=10/3

@@
範囲から除外された∽を使ってしまいましたが、
PB=10-x、BQ=2xと長さを求め、
PB=BQより、10-x=2x
x=10/3と方程式で解けます。


5秒ごとに調べてみると、15秒後までにACとPQが平行になる瞬間はなさそう。
次にAC//PQとなるのは、PがBC上、QがAB上にあるとき。
PBの長さ…Pが動いた距離-AB=x-10cm
QBの長さ…正方形ABCDの周の長さ-Qが動いた距離=40-2xcm

PB=QB
x-10=40-2x
x=50/3
したがって、
10/3秒後、50/3秒後

一応、学校裁量問題であるものの、コロナ禍を差し引いても全体的にしょぼかった。
大問1
(2)誘導なしで普通に5/8を問えば良かったと思う。
(3)安直な相対度数の計算。
(4)教科書レベルの作図。
大問2
空欄補充は初学者用のワークか?
(2)下にもう1個正六角形をつけただけで、
難関校を受ける者にとっては何の腹の足しにもならない。
大問3
頻出で定番でオーソドックスで陳腐な平々凡々レベルを何故3題も出した(´゚д゚`)!?
大問4
(1)こんなの小学4年生でも解ける。
(2)きちんと図示する。等辺がわかっているので両端角に目をつける。難しくはない。
大問5
(1)高校受験ではあまり見かけないが、中学受験では基本に相当する。
演習を積み重ねてカバーしよう。
(2)体積は易。易易易!!
③PQの角度は0°から上昇し、45°となる1回目はQがCに着く前。
2回目はやや離れる。Qが頂点に到着する5秒おきに手早く調べる。
計算は複雑ではない。時間が余ったと思うので、確実に決めておきたい。
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