2020年度 群馬県公立高校入試過去問【数学】解説

平均48.8点(前年比;+4.3点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①
1+2×(-4)
=1-8=-7


3x-1/2x
=5/2x


4a2b÷2a×2b
=4ab2

(2)
絶対値…数直線上で原点0からの距離。
小数に変換してみよう。
ア:3.2 イ:-3.5
ウ:√2→1.41421356…(人夜人夜に人見頃)
2√2≒2.82
エ:3.33… オ:-3
絶対値が最も大きいのはイ。

(3)
2-10x+25
=(x-5)2

(4)
2x+3y=4 …①
-x+y=3 …②
①+②×2
2x+3y=4
+)-2x+2y=6
5y=10
y=2
②に代入。-x+2=3
x=-1
x=-1、y=2

(5)
全体…2×2×2=8通り
〔少なくとも1回は表=全体-全部裏〕
全部裏は1通りしかない。
よって、7/8

(6)
(2x-5)2=18 ←展開しないで2乗を消す。右辺は根号
2x-5=±3√2
2x=5±3√2
x=(5±3√2)/2

(7)

ADに補助線。
弧CDに対する円周角より、∠CAD=38°
直径に対する円周角より、∠BAD=90°
∠BAC=90-38=52°

(8)
取り出した100個のうち、黒:白=90:10=9:1
この割合は母集団も変わらないとみなす。
容器の中に白は全部で100個あったので、
黒の個数は、100×9/1=900個 →ウ

(9)
同位角か錯角が等しければ、2直線は平行

∠cと∠e

大問2(関数の性質)

(1)
ア:x=1、2、3、4、5をやってみると、y=1、2、2、3、2でバラバラ。
イ:y=-x+1000(一次関数)
ウ:y=1200/x(反比例)
エ:食塩=食塩水×濃度→y=0.05x
オ:y=2x
エ・オ

(2)
ア:y=ax2は原点を通過する。
イ:x>0のときxが増加するとyも増加。
x<0のときはxが増加するとyは減少。
ウ:y軸に対して左右対称。
エ:x=0のとき、最小値y=0、x=2のとき、最大値y=8
オ:比例や一次関数であれば変化の割合は変わらないが、放物線の場合は変わる。
y=ax2において、xの値がp→qに増えたときの変化の割合はa(p+q)
ア・エ


大問3(整数の証明)

千の位…a、百の位…b、十の位…b、一の位…a(aは1桁自然数、bは1桁自然数or0)
4桁の自然数は、1000a+100b+10b+aと表せる。
11の倍数であることを証明したいので、最後は11でくくる形にもっていく
1000a+100b+10b+a
=1001a+110b
=11(91a+10b)
91a+10bが整数だから、11(91a+10b)は11の倍数。
したがって、このような4桁の整数は、いつでも11の倍数となる。

@余談@
去年の栃木大問2(2)では誘導穴埋め問題で同じ題材がでた。

↑筆算で確かめることができます。

@11の倍数@
覚える必要性は乏しいですが、11の倍数にはルールがあります。
各位を交互に足し引きして11で割れたら11の倍数
505582だったら、、
5-0+5-5+8-2=11 →505582は11の倍数
言い換えれば、奇数の位(一、百、万…)の和と偶数の位(十、千、十万…)の和を合算して、
11の倍数だったら11の倍数。

11で割ったときの余りに注目します。
奇数の位は、1=11×0+1、100=11×9+1、10000=1111×9+1
偶数の位は、10=11×1-1、1000=11×91-1、100000=11×9091-1
+1と-1で相殺すれば、余りがなくなって11の倍数になる。
〔abba〕だったら、(a+b)-(b+a)=0
0も11の倍数(11×0)だから、abbaは11の倍数。
専修大松戸で丁寧な誘導付きで仕組みを紐解く問題がでました。

大問4(空間図形)

(1)
1辺がa、b、cの直方体の対角線の長さ→√(a2+b2+c2

√(22+42+32)=√29m

(2)①
展開図を別々に書いて調べる。

ア:√41m
イ:√45(3√5)m
よって、ア・√41m。


長い方なので、イを選択する。

Cからおろした垂線と直線ℓとの交点をIとする。
×=90°で調べていくと、2角相等で△AEG∽△GIC
直角三角形の辺の比は3:6:3√5=1:2:√5なので、
CI=3×2/√5=6√5/5cm

大問5(平面図形)

(1)
正確な作図力を要する。

ライトが床を照らす円の直径は、8×200/10=160cm

(2)①

先ほどの図をxとyに変換。
y=8×(300-x)/10
=240-4/5x
y=-4/5x+240


前問の式に代入して答えるので、①をミスると自動的にここもバツになる。
x=50のとき、y=-4/5×50+240=200
x=180のとき、y=-4/5×180+240=96
96≦y≦200
*ヒモの長さ(x)が短いほど、照らされる面積は広くなる。

(3)

ライトA・Bの高さと直径の比を表すと、うえのようになる。
床が照らされた円の面積が等しくなるということは、④=△3ということ。
最小公倍数12で比を統一する。

1/2x=□20-□15=□5
300m=□25で、x=□10だから、
x=300×10/25=120


大問6(平面図形2)

(1)①
ABの中点Oを作図する。
ABの垂直二等分線を描き、直径ABとの交点がO。


説明問題。方針は立てやすいと思われる。

仮定と半径から、△AOPの3辺が等しい→△AOPは正三角形。
∠AOP=60°
∠BOP=120°
弧の長さは中心角に比例するので、弧AP:弧PB=60:120=1:2

(2)①
円折り返し問題(;´Д`)
2015年度の群馬大問5でも出題され、苦戦しました。

折り返した半円と直径ABとの交点が、
なんとなく中心Oとかぶっているような気がする

△PBOは半径より二等辺。
外角定理から、∠OPB=∠OBP=60÷2=30°
PBで折り返したとき、弧PBと直径ABとの交点はどこにくるのだろう?

PBの垂直二等分線をひき、円周との交点をCとする
この線分は中心Oを通る
なぜなら、三角形の内角は30°と90°なので、残りの角(中心角)は60°となり、
二等辺三角形PBOを垂直に二等分する。
また、Cは弧PBの中点にあたるので、弧AP:弧PC:弧CB=1:1:1
→中心角はどれも60°で辻褄が合うから。
PBを対称の軸とすると、OとCは対応する点となる。
以上より、折り返した半円は中心Oで交わることが証明された。

半径と∠POC=60°から、△POCの内角はすべて60°で正三角形
移植すると、求積すべき図形は半径6cm、中心角60°の扇形となる。
6×6×π×60/360=6πcm2


サボ的に今年度の関東一悩みました。

中心角は弧の長さに比例するので、弧AQ:弧QB=1:3から、
∠AOQ=180×1/4=45°
∠QOB=180-45=135°
ここから重なり部分の面積を求めたいが、形が複雑…。
とりわけ、△QBOの左側がよくわからない形をしているので、
折り返した部分の面積から、下の重なっていない部分を引くのでは?と推測する。

折り返し部分を求める。
半径6cm中心角135°の扇形から△QBOをひけばいい。

Qから垂線をおろし、直径ABとの交点をCとする。
△QOCは45°-45°-90°の直角二等辺三角形だから、
1:1:√2より、QC=6×1/√
2=3√2cm
折り返し部分の面積…6×6×π×135/360-6×3√2÷2=27/2π-9√2cm2

続いて、下の部分を求めたい。
前問と同様、やはり気になるのは弧QBと直径ABの交点

交点をDとする。
対称の軸QBについて、Dと対応する点をD’とおく。
D’Bに補助線を描いてみよう。

△QBOは二等辺三角形。
外角定理より、=45°
線対称より、∠QBD=∠QBD’なので、∠D’BD==45°!
半径からOB=OD’なので、△OBD’の内角は45°-45°-90°で直角二等辺三角形!
D’はOの真上にいることになる。
また、線対称からの面積が等しい
の面積は半径6cm中心角90°の扇形から、直角二等辺三角形OBD’を引けばいい。
6×6×π×90/360-6×6÷2=9π-18cm2

したがって、求めたい面積は、
27/2π-9√2-(9π-18)
=9/2π-9√2+18cm2


後半の図形がキツイ!
前半部分はどうにか死守したい。
大問1~3
教科書や問題集にでてくる問題。
大問4
(2)最短→展開図の作成。2つ書いて調べる必要がある。
②相似関係が見つかりにくいか。90°の処理に慣れて2角相等を導きたい。
大問5
数学を活用した設定で正答率が悪そう。
幾何の基本は作図。照らされる面をきちんと描く。
(3)は厳しい。無理そうなら他に時間をあてよう。
算数的解法だと情報や計算がスッキリしやすい。
大問6
(1)は守りたい。理由説明が曲者だが取りたい。弧の比は中心角の比。
(2)円の折り返しは難しい:;(∩´_`∩);:
他の都道府県の上位層もぜひチャレンジして頂きたい。
不規則な形は移植or分割or周りから引く。

折り返した弧と直径の交点をうまく見極めたい。
公立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

タイトルとURLをコピーしました