2014年度 茨城県公立高校入試【数学】解説

平均53.7点
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東京新聞さん

大問1(計算)

(1)3-8=-5

(2)(-12)÷4+(-3)×(-5)
=-3+15=12

(3)(-2/3)÷5/6+3/2
=-4/5+3/2=7/10

(4)3(-3x+y)+2(5x-2y)
=-9x+3y+10x-4y
=x-y

(5)√18÷√6ー√27
=√3-3√3=-2√3

大問2(小問集合)

(1)4x2-25
=(2x+5)(2x-5)

(2)連立方程式。
代入法かな?1つ目のyに2x-7を代入。
x-2(2x-7)=8
-3x+14=8
x=2
2つ目に代入。y=2×2-7=-3
x=2、y=-3

(3)解の公式です。
x=(-3±√17)/4

(4)反比例の一般式y=a/xにあてはめ。
3=a/2 a=6 y=6/x

(5)因数分解してから代入。
2-2xy+y2
=(x-y)
=(√5+3-3)2

=√52=5

大問3(小問集合2)

(1)神奈川よりちょっと複雑。
平均値は全てを足して÷10→22.5kwh
中央値(メジアン)は真ん中の数の値。
全体の資料の個数が10個と偶数個なので、5個目と6個目の平均値をとる。
よって、24と25の平均24.5kwhが正解。

(2)交点を通る3本目の平行線をひくのが定石。
錯角・同位角をうまく使って求める。
180-75=105
105+30=135°

(3)連立でもいけるが一次方程式でも可。
求めたい去年の男子の数をxとおく。
女子は360-x
0.95x+1.1(360-x)=360+12
100倍して整理すると、15x=2400
x=160人

大問4(関数)

(1)わかるところからとにかく埋める。
Bの座標はy=-1/2x
xに-2を放り込み、B(-2、-2)

平行四辺形と座標の関係を利用。
C→Dは4右にいって8上にあがる。
だから、Bも4右にいって8上に上がればA。
A(-2+4、-2+8)=A(2、10)
y=aにあてはめ。a=5/2

(2)(1)と同様。平行四辺形の面積を二等分したとき、
二等分された図形は点対称の図形になる
D→Eは3下がり1左。…ということは、
Bから3上がり1右にいった点をFとおくとEFが二等分する線。
F(-2+1、-2+3)=F(-1、1)
E(7、9)F(-1、1)→2点を通る直線の式は連立。(傾きは暗算でも可)
よって、y=x+2

大問5(動点)

(1)3秒後は、PはAB上、QはAD上にある。
AP=3cm、AQ=6cm
三平方の定理でPQ=3√5cm

(2)最初に1/4になるのは、P、QそれぞれがB、Dにつく前。
この間、△APQは時間の二乗に比例して増加していく→2次方程式
Pをx秒後とおく。
x×2x÷2=32÷4
これをとくと、x=2√2秒後

2回目はQがDに到着後、PがC→Dに向かう最中。
つまり、CDの真ん中にきたときに△APQは1/4。
4+8+2=14秒後
よって、2√2秒後と14秒後

大問6(平面図形)

ア…△ACDと△BCEとあるので、この2つを凝視。
弧CDとあるので円周角定理より、∠CBE(∠CADに対応して書く)

イ…①②③から明らか。2辺と間の角が等しい。
誘導がある問題は、最低限誘導のところまでは解こう。

ウ…誘導から△ACDと△BCEが合同とわかったので、
CD=CEというのがわかる。あとは∠DCEが直角であることを示す。
直径に対する円周角から∠ACBが90°
合同なので∠ACD=∠BCE
ここらへんをうまく使う。等しい辺や角に印をつけ、
角を分解して∠ACB=∠DCEも導けばOK!解答例参照。

大問7(場合の数、確率)

(1)ⅠAP=2cm→格子上の点線2目盛り分
(赤、白)=(3、1)(1、3)(3、5)(5、3)
4通り

ⅡAP=√5cm→2cmと1cmの長方形の対角線
2進んで横に1、将棋でいう桂馬のような動き。
(赤、白)=(2、1)(4、1)(2、5)(4、5)
(1、2)(1、4)(5、2)(5、4)
8通り

(2)直線ABと点Pとの距離が√2cm→直線ABを上に1、下に1平行移動
(赤、白)=(1、3)(2、4)(3、5)(4、6)
(3、1)(4、2)(5、3)(6、4)
よって、8/36=2/9

大問8(立体図形)

(1)わかる角度を書き出す。
△IBF=1:2:√3の直角三角形
BI=3√3×1/√3=3cm
△ABDで三平方→BD=5cm
よって、ID=5-3=2cm
△IDJ=1:2:√3の直角三角形
DJ=2×√3/1=2√3cm
ゆえに、JK=3√3-2√3=√3
体積は、4×3×√3÷3=4√3cm3

(2)難問。
非常に面倒くさい。問題数も多いので、ここだけ捨てても構わないと思う。
以下、サボなりの解答。
直方体の断面BFHDで考える。
FBとJIの延長線の交点をLとおく。
△LBIと△JDIは2角が等しいので相似。
BI:DI=3:2、よってBL=3√3cm
△KFLと△KDJにおいて2角が等しいので相似。
LF:JD=6√3:2√3=3:1
よって、FK:DK=3:1
ここで、GとKが対角線になるような直方体を考える。
その直方体の縦は、3×3/4=9/4cm、横は4×1/4=1cm
高さは3√3×3/4=9√3/4cm
GKはこの直方体の対角線。直方体の対角線は各々の二乗の和の平方なので、
GK=1+(9/4)+(9√3/4)
=1+81/16+243/16=340/16
GK>0より、GK=2√85/4=√85/2cm
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