2014年度　茨城県公立高校入試【数学】解説

平均53.7点
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大問１（計算）

（１）３－８＝－５

（２）（－１２）÷４＋（－３）×（－５）
＝－３＋１５＝１２

（３）（－２/３）÷５/６＋３/２
＝－４/５＋３/２＝７/１０

（４）３（－３ｘ＋ｙ）＋２（５ｘ－２ｙ）
＝－９ｘ＋３ｙ＋１０ｘ－４ｙ
＝ｘ－ｙ

（５）√１８÷√６ｰ√２７
＝√３－３√３＝－２√３

大問２（小問集合）

（１）４ｘ²－２５
＝（２ｘ＋５）（２ｘ－５）

（２）連立方程式。
代入法かな？１つ目のｙに２ｘ－７を代入。
ｘ－２（２ｘ－７）＝８
－３ｘ＋１４＝８
ｘ＝２
２つ目に代入。ｙ＝２×２－７＝－３
ｘ＝２、ｙ＝－３

（３）解の公式です。
ｘ＝（－３±√１７）/４

（４）反比例の一般式ｙ＝ａ/ｘにあてはめ。
３＝ａ/２　ａ＝６　ｙ＝６/ｘ

（５）因数分解してから代入。
ｘ²－２ｘｙ＋ｙ²
＝（ｘ－ｙ）^２
＝（√５＋３－３）²
＝√５²＝５

大問３（小問集合２）

（１）神奈川よりちょっと複雑。
平均値は全てを足して÷１０→２２．５ｋｗｈ
中央値（メジアン）は真ん中の数の値。
全体の資料の個数が１０個と偶数個なので、５個目と６個目の平均値をとる。
よって、２４と２５の平均２４．５ｋｗｈが正解。

（２）交点を通る３本目の平行線をひくのが定石。
錯角・同位角をうまく使って求める。
１８０－７５＝１０５
１０５＋３０＝１３５°

（３）連立でもいけるが一次方程式でも可。
求めたい去年の男子の数をｘとおく。
女子は３６０－ｘ
０．９５ｘ＋１．１（３６０－ｘ）＝３６０＋１２
１００倍して整理すると、１５ｘ＝２４００
ｘ＝１６０人

大問４（関数）

（１）わかるところからとにかく埋める。
Ｂの座標はｙ＝－１/２ｘ^２
ｘに－２を放り込み、Ｂ（－２、－２）
平行四辺形と座標の関係を利用。
Ｃ→Ｄは４右にいって８上にあがる。
だから、Ｂも４右にいって８上に上がればＡ。
Ａ（－２＋４、－２＋８）＝Ａ（２、１０）
ｙ＝ａ^２にあてはめ。ａ＝５/２

（２）（１）と同様。平行四辺形の面積を二等分したとき、
二等分された図形は点対称の図形になる。
Ｄ→Ｅは３下がり１左。…ということは、
Ｂから３上がり１右にいった点をＦとおくとＥＦが二等分する線。
Ｆ（－２＋１、－２＋３）＝Ｆ（－１、１）
Ｅ（７、９）Ｆ（－１、１）→２点を通る直線の式は連立。(傾きは暗算でも可)
よって、ｙ＝ｘ＋２

大問５（数量変化）

（１）３秒後は、ＰはＡＢ上、ＱはＡＤ上にある。
ＡＰ＝３ｃｍ、ＡＱ＝６ｃｍ
三平方の定理でＰＱ＝３√５ｃｍ

（２）最初に１/４になるのは、Ｐ、ＱそれぞれがＢ、Ｄにつく前。
この間、△ＡＰＱは時間の二乗に比例して増加していく→２次方程式
Ｐをｘ秒後とおく。
ｘ×２ｘ÷２＝３２÷４
これをとくと、ｘ＝２√２秒後

２回目はＱがＤに到着後、ＰがＣ→Ｄに向かう最中。
つまり、ＣＤの真ん中にきたときに△ＡＰＱは１/４。
４＋８＋２＝１４秒後
よって、２√２秒後と１４秒後

大問６（平面図形）

ア…△ＡＣＤと△ＢＣＥとあるので、この２つを凝視。
弧ＣＤとあるので円周角定理より、∠ＣＢＥ（∠ＣＡＤに対応して書く）

イ…①②③から明らか。２辺と間の角が等しい。
誘導がある問題は、最低限誘導のところまでは解こう。

ウ…誘導から△ＡＣＤと△ＢＣＥが合同とわかったので、
ＣＤ＝ＣＥというのがわかる。あとは∠ＤＣＥが直角であることを示す。
直径に対する円周角から∠ＡＣＢが９０°
合同なので∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ
ここらへんをうまく使う。等しい辺や角に印をつけ、
角を分解して∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥも導けばＯＫ！解答例参照。

大問７（場合の数、確率）

（１）ⅠＡＰ＝２ｃｍ→格子上の点線２目盛り分
（赤、白）＝（３、１）（１、３）（３、５）（５、３）
４通り

ⅡＡＰ＝√５ｃｍ→２ｃｍと１ｃｍの長方形の対角線
２進んで横に１、将棋でいう桂馬のような動き。
（赤、白）＝（２、１）（４、１）（２、５）（４、５）
（１、２）（１、４）（５、２）（５、４）
８通り

（２）直線ＡＢと点Ｐとの距離が√２ｃｍ→直線ＡＢを上に１、下に１平行移動
（赤、白）＝（１、３）（２、４）（３、５）（４、６）
（３、１）（４、２）（５、３）（６、４）
よって、８/３６＝２/９

大問８（立体図形）

（１）わかる角度を書き出す。
△ＩＢＦ＝１：２：√３の直角三角形
ＢＩ＝３√３×１/√３＝３ｃｍ
△ＡＢＤで三平方→ＢＤ＝５ｃｍ
よって、ＩＤ＝５－３＝２ｃｍ
△ＩＤＪ＝１：２：√３の直角三角形
ＤＪ＝２×√３/１＝２√３ｃｍ
ゆえに、ＪＫ＝３√３－２√３＝√３
体積は、４×３×√３÷３＝４√３ｃｍ³

（２）難問。
非常に面倒くさい。問題数も多いので捨てても構わないと思う。
以下、サボなりの解答。
直方体の断面ＢＦＨＤで考える。
ＦＢとＪＩの延長線の交点をLとおく。
△LＢＩと△ＪＤＩは２角が等しいので相似。
ＢＩ：ＤＩ＝３：２、よってＢL＝３√３ｃｍ
△ＫＦLと△ＫＤＪにおいて２角が等しいので相似。
LＦ：ＪＤ＝６√３：２√３＝３：１
よって、ＦＫ：DK＝３：１
ここで、ＧとＫが対角線になるような直方体を考える。
その直方体の縦は、３×３/４＝９/４ｃｍ、横は４×１/４＝１ｃｍ
高さは３√３×３/４＝９√３/４ｃｍ
ＧＫはこの直方体の対角線。直方体の対角線は各々の二乗の和の平方なので、
ＧＫ^２＝１^２＋（９/４）^２＋（９√３/４）^２
＝１＋８１/１６＋２４３/１６＝３４０/１６
ＧＫ＞０より、ＧＫ＝２√８５/４＝√８５/２ｃｍ
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