2023年度　栃木県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問１（小問集合）

（１）　89.4％
３－（－５）
＝３＋５
＝８

（２）　77.3％
８ａ³ｂ²÷６ａｂ
＝４/３ａ²ｂ

（３）　89.4％
（ｘ＋３）²
＝ｘ²＋６ｘ＋９

（４）　54.1％
パンが７ｘ円、ジュースが５ｙ円、合計が2000円以下。
７ｘ＋５ｙ≦2000

（５）　69.1％
ねじれの位置…延長しても交わらない、かつ平行でもない。
辺ＤＨ、辺ＣＧ、辺ＥＨ、辺ＦＧの４本。

（６）　61.8％
反比例の比例定数ａはｘとｙの積で一定。
ａ＝－２×８＝16
ｙ＝－16/ｘ

（７）　47.8％
360－134＝226°
円周角の定理より、ｘ＝226÷２＝113°

（８）　35.5％
面積比は相似比の２乗。
△ＡＢＣ：△ＤＥＦ＝３²：５²＝９：25
△ＤＥＦの面積は△ＡＢＣの25/９倍。

大問２（小問集合２）

（１）　56.2％
ｘ²＋４ｘ＋１＝０
解の公式を適用する。ｘの係数が偶数なのでｂ＝２ｂ’が使える。
ｘ＝－２±√３

（２）　12.8％！（部分正答含34.4％）
答案では、使用できる教室の数をｘとして方程式をつくり、途中の計算も書く。
生徒の人数で等式を立てる。
１教室に15人ずつ入れると34人が入れない→15ｘ＋34人
１教室に20人ずつ入れると14人の教室が１つ、空き教室が１つできる。
→20ｘ人から６人不足、さらに20人不足→20ｘ－６－20人

15ｘ＋34＝20ｘ－６－20
５ｘ＝60
ｘ＝12
使用できる教室の数は12。

（３）　8.0％!!（部分正答含54.8％）
一の位が０でない900未満の３桁の自然数Ｍの百の位がａ、十の位がｂ、一の位がｃ。
１≦ａ≦８、０≦ｂ≦９、１≦ｃ≦９
Ｍ＝100ａ＋10ｂ＋ｃ
Ｎ＝Ｍ＋99
＝100ａ＋10ｂ＋ｃ＋100－１
＝100×（ａ＋１）＋10×ｂ＋ｃ－１
Ｎの百の位はａ＋１、十の位はｂ、一の位はｃ－１となる。
よって、Ｍの位の数の和とＮの位の数の和は、それぞれａ＋ｂ＋ｃで同じ値になる。
①…100、②…10、③…ａ＋１、④…ｂ、⑤…ｃ－１

＠＠

比較すると、一の位が－１、十の位は変化なし、百の位は＋１で和は変わりません。

大問３（平面図形）

（１）　19.3％！

①ＡＢを１辺とする正三角形をつくる。
②角の二等分線で60°を２等分すれば30°がつくれる。
ＡＣとの交点がＰ。

（２）①　56.0％

Ａから垂線をひき、ＤＣとの交点をＥとする。
ＥＣ＝ＡＢ＝２ｃｍ、ＤＥ＝３－２＝１ｃｍ
△ＡＥＤで三平方→ＡＤ＝√10ｃｍ

②　43.1％

回転体は下が円柱、上が円錐。
３×３×π×２＋３×３×π×１÷３
＝21πｃｍ³

（３）　4.6％!!（部分正答71.5％）
△ＡＢＦ≡△ＤＡＧの証明。

仮定より、∠ＢＦＡ＝∠ＡＧＤ＝90°
ＡＢ＝ＤＡ
∠ＢＡＦ（●）＝90－∠ＤＡＧ（×）
△ＤＡＧの内角で、∠ＡＤＧ＝180－（90＋×）＝90－×＝●
斜辺と１つの鋭角が等しい直角三角形だから合同。

大問４（データの活用）

（１）　65.4％
選ばれるのは５人中２人なので、確率は２/５。
Ａが選ばれるのもＣが選ばれるのも、みな同様に確率は２/５。

（２）①　36.3％
累積度数は、その階級以下の度数の和。
２＋７＋８＝17人

②　62.2％
最頻値（モード）は最もあらわれている値。
20.0～22.0の階級に含まれる→階級値は21.0秒。

（３）①　77.4％
ア：中央値（第２四分位数）は１回目が13点、２回目が14点。〇
イ：最大値は１回目が18点、２回目が20点。×
ウ：範囲＝最大値－最小値。１回目は18－６＝12点、２回目は20－８＝12点。×
エ：四分位範囲＝第３四分位数－第１四分位数。箱の長さで２回目の方が小さい。〇
　１回目は16－８＝８点、２回目は16－10＝６点
ア・エ

②　11.2％！（部分正答23.4％）
説明問題。
100人の第１四分位数は25番目と26番目の平均。
たとえば、25番目が７点、26番目が９点だった場合、
８点の生徒がいなくても第１四分位数は８点になる。
25番目が６点、26番目が10点なども同様である。

大問５（関数＆数量変化）

（１）①　56.7％
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝５のとき、最大値ｙ＝50
０≦ｙ≦50

②　17.1％！

ｙ＝５ｘ、ｙ＝２ｘ²にそれぞれｘ＝２を代入。
Ａ（２、10）Ｂ（２、８）
Ｃはｙ軸についてＢと対称。Ｃ（－２、８）

直線ＣＡの切片はＣとＡの中点から（０、９）
等積変形の考えで、△ＯＡＣは底辺４、高さ９の三角形。
４×９÷２＝18

③　3.8％!!（部分正答含11.7％）
答案では途中の計算も書く。

座標をｔで表す。
ｙ＝２ｘ²にｔを代入。Ｂ（ｔ、２ｔ²）
Ｃはｙ軸についてＢと対称。Ｃ（－ｔ、２ｔ²）
ｙ＝５ｘにｘ＝－ｔを代入。Ｄ（－ｔ、－５ｔ）

ＢＣ＝ｔ－（－ｔ）＝２ｔ
ＣＤ＝２ｔ²－（－５ｔ）＝２ｔ²＋５ｔ
４ＢＣ＝ＣＤだから、４×２ｔ＝２ｔ²＋５ｔ
２ｔ²－３ｔ
＝ｔ（２ｔ－３）＝０
ｔ＞０より、ｔ＝３/２

②　22.0％！（部分正答含34.9％）
答案では、途中の計算も記述する。
グラフの横軸が時間、縦軸が距離だから、傾きが速さになる。
前田の速さは毎分70ｍ→傾きは70
ｙ＝70ｘ＋ｂに（６、390）を代入する。
390＝70×６＋ｂ
ｂ＝－30
ｙ＝70ｘ－30

③　1.2％!!
情報整理が求められる。

図書館の280ｍ手前で、後藤が前田に追いつく。
29分から280÷70＝４分前→25分のとき。

後藤家～前田が後藤に追いつかれる地点までの２人の移動距離は同じ。
前田の移動時間は、８＋６＝14分間
速さの比が、前田：後藤＝70：210＝１：３
時間の比は逆比で、前田：後藤＝３：１
⇒後藤の移動時間は、14÷３＝14/３分＝４分40秒
後藤が家を出発したのは家に着いてから、
25分－６分－４分40秒＝14分20秒後

大問６（方程式）

（１）　63.3%
マスの数は、４×４＝16個
白は１マス４枚貼るから、４×16＝64枚

（２）　24.1％！（部分正答含30.8％）
黒のマスをｘ個、白のマスをｙ個とする。
ｎ＝５のとき、マスは全体で５×５＝25個
ｘ＋ｙ＝25　…①
もう１つは、タイルの枚数の合計で等式。
ｘ＋４ｙ＝49　…②
①－②より、３ｙ＝24
ｙ＝８

白マスは８個。白のタイルは４×８＝32枚
①にｙ＝８を代入して、黒のマスは25－８＝17個→黒のタイルは17枚
黒いタイル…17枚、白いタイル…32枚

（３）　0.1％!!!（部分正答含6.2％）
ｎ＝ａのとき、マスは全体でａ²個。
黒マスがｂ個、白マスはａ²－ｂ個。
→黒のタイルはｂ枚、白のタイルは４（ａ²－ｂ）枚。

貼り方のⅠとⅡを逆にした⇒黒と白のタイルを入れ替えた。
黒マスはａ²－ｂ個、白マスはｂ個。
→黒のタイルは（ａ²－ｂ）枚、白のタイルは４ｂ枚。

ｂ＋４（ａ²－ｂ）＝（ａ²－ｂ）＋４ｂ＋225
３ａ²－６ｂ＝225　←÷３
ａ²－２ｂ＝75
ａ²＝２ｂ＋75

ここで偶奇判定。
２ｂは偶数、75は奇数なので、ａ²は奇数でなければならない。
ａ²が奇数ということは、ａは奇数。（奇数×奇数＝奇数）
問題文より、ａは２以上の整数、ｂは１以上の整数で、
ａ²は77以上の奇数の平方数が該当する。
９×９＝81→ａの最小値は９。その次の奇数は11。
①…４（ａ²－ｂ）、②…９、③…11