2014年度 埼玉県公立高校入試【数学】解説

平均45.0点
問題はコチラ→リセマムさん

大問1(小問集合)

(1)9a-5a=4a

(2)12÷(-2)+1
=-6+1=-5

(3)6√7ー√28
=6√7-2√7=4√7

(4)先に因数分解。
-8x+15
=(x-5)(x-3) ←代入
=(13-5)(13-3)=8×10=80

(5)因数分解できないので解の公式。
x=(9±√21)/10

(6)連立方程式。
加減法でも代入法でも。x=1、y=-2

(7)グラフの傾きを求める。
(3、3)を通るので、
3=32
9a=3 a=1/3

(8)
2問だけ正解→AとB=2点 AとC=4点 BとC=4点
つまり、2点と4点をとったものの合計人数が正解。
5+15=20人

(9)
錯角で∠CAD=30°
△ABDは二等辺三角形なので底角である∠ADBは、
(180-80-30)÷2=35°
△ADEの外角定理から、35+30=65°

(10)立面図は正三角形。高さは3√3cm
6×6×3√3×1/3=36√3cm3

(11)6個入りの箱…x個 8個入りの箱…y個とする
ア:6x+8y=34
これしか立式できないのでyに適当な数値を1コずつあてはめて調べる。
すると、x=3、y=2しかない。
係数の大きいyを基準にした方が早いと思う。
6個入りの箱…3箱 8個入りの箱…2箱

イ:整数の性質を問う証明問題。
東京の大問2と比べれば容易。
今度は12個入りの箱をy個とする。
6x+12y=6(x+2y)
x+2yは整数なので、6(x+2y)は6の倍数。
よって、6の倍数でない34個のドラヤキは買えない。

大問2(小問集合2)

(1)求積
OA、OBに線を引けば正解は目前。
△ABCで残りの∠ACBは45°。
円周角定理で∠AOBは直角で、かつOA=OB(半径)
よって、△OABは直角二等辺三角形。
ABが4cmなので、4×1/√2=2√2…半径
あとは、4分の1の扇形から直角二等辺三角形をひけばオシマイ。
2√2×2√2×π×90/360-2√2×2√2×1/2
=2Π-4cm2

(2)作図問題
∠ABCの二等分線→点Cを通る二等分線に垂直な垂線。

(3)確率
サイコロを2回振る。偶数と奇数のパターンで分ける。
偶→偶パターン…最後が偶数だと1段下がるのでGOALできない。
奇→偶パターン…同様。
奇→奇パターン…(1,3)(3,1)(5,1)
偶→奇パターン…(2,5)(4,5)(6,5)
以上、6通り。
*超過分は戻るので、(5,1)を忘れないこと!

(4)体積
ご丁寧に図があるので参考する。
球の体積なので球の半径(=図の円の半径)がわかればいい。
円の半径と接線は垂直
90°と共通角で2角が等しい2つの三角形は相似。
半径をrとおく。12:4=3:1=12-r:r
外項と内項の積は一緒。
12-r=3r 4r=12 r=3
よって、3×3×3×π×4/3=36πcm3

大問3(関数)

(1)
A(-1、1/4) B(4、4)
2点を通る直線の式→連立方程式
y=3/4x+1

(2)
やや難。
Dの座標を(p、1/4p)とおく。
EDの直線の式を求める。
ABと平行なので傾きは3/4
1/4p=3/4p+b
b=1/4p-3/4p
つまり、切片E(0、1/4p-3/4p)
EC=1/4p-3/4p-1=ED(仮定より)
ここで傾きが3/4であることに注目!
4右にいって3上がる→3:4:5の直角三角形が使える。
EDが斜辺となる直角三角形を描く。
ここに気づかないと計算がややこしくなる。

④:⑤=p:1/4p-3/4p-1
内項と外項の積から、
5p=p-3p-4
-8p-4=0
解の公式(b’方式ver)
p=4±√16+4=4±√20=4±2√5
Dのx座標は4より大きいのでp>4より、
p=4+2√5

大問4(平面図形)

(1)
図形の証明問題。いろいろな方法があると思う。
AB=AD(正方形の一辺) …①
∠JBA=∠IAD=90°  …②
また、IDは点Aが点Gに重なるように折ったときにできた線であるから、
線対称における対象の軸となり、ID⊥AG
すると∠JLI=90°
四角形IBJLに注目!
∠IBJ+∠JLI=90+90=180°
対角の和が180°なので、四角形IBJLは円に内接する。
円に内接する四角形の内角は、その対角の外角に等しいから

∠AJI=∠DIA     …③
△ABJと△DAIにおいて、②、③から残る角も等しい。
∠JAB=∠IDB     …④
①、②、④から1辺とその両端角が等しいので、
△ABJ≡△DAI

(2)
GHに線分をひく。
AHを対象の軸として折ったので、
△AGH=△ADH …①
また、左右対称により△ADH=△DAI …②
(1)より、△DAI=△ABJ …③
①、②、③より、
△ADH=△AGH=△ABJ
よって、∠HAD=∠HAJ=∠JABなので、
各々の角度は90÷3=30°
また、△ABDは直角二等辺三角形なので、∠ADN=45°
従って、△DAN内で外角定理を用いて、
∠DNH=45+30=75°

(3)
△ABJと△ADHは合同。
しかも、90°、60°、30°の直角三角形→1:2:√3が使える。
AD:BJ=√3:1  …①
△ADLと△JBLにおいて2角が等しい(錯角)から、①より
BM:DM=1:√3

MからBCに平行でABとの交点をKをおく。三角形と線分の比から、
△ABD:△KBL=AD:KM=√3+1:1
AD=8なので、
KM=8×1/(√3+1)=4√3-4
よって、8×(4√3-4)÷2=16√3-16cm2
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