2014年度　埼玉県公立高校入試【数学】解説

平均４５．０点
問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）９ａ－５ａ＝４ａ

（２）１２÷（－２）＋１
＝－６＋１＝－５

（３）６√７ｰ√２８
＝６√７－２√７＝４√７

（４）先に因数分解。
ｘ^２－８ｘ＋１５
＝（ｘ－５）（ｘ－３）　←代入
＝（１３－５）（１３－３）＝８×１０＝８０

（５）因数分解できないので解の公式。
ｘ＝（９±√２１）/１０

（６）連立方程式。
加減法でも代入法でも。ｘ＝１、ｙ＝－２

（７）グラフの傾きを求める。
（３、３）を通るので、
３＝３²ａ
９ａ＝３　ａ＝１/３

（８）
２問だけ正解→ＡとＢ＝２点　ＡとＣ＝４点　ＢとＣ＝４点
つまり、２点と４点をとったものの合計人数が正解。
５＋１５＝２０人

（９）
錯角で∠ＣＡＤ＝３０°
△ＡＢＤは二等辺三角形なので底角である∠ＡＤＢは、
（１８０－８０－３０）÷２＝３５°
△ＡＤＥの外角定理から、３５＋３０＝６５°

（10）立面図は正三角形。高さは３√３ｃｍ
６×６×３√３×１/３＝３６√３ｃｍ³

（11）６個入りの箱…ｘ個　８個入りの箱…ｙ個とする
ア：６ｘ＋８ｙ＝３４
これしか立式できないのでｙに適当な数値を１コずつあてはめて調べる。
すると、ｘ＝３、ｙ＝２しかない。
係数の大きいｙを基準にした方が早いと思う。
６個入りの箱…３箱　８個入りの箱…２箱

イ：整数の性質を問う証明問題。
東京の大問２と比べれば容易。
今度は１２個入りの箱をｙ個とする。
６ｘ＋１２ｙ＝６（ｘ＋２ｙ）
ｘ＋２ｙは整数なので、６（ｘ＋２ｙ）は６の倍数。
よって、６の倍数でない３４個のドラヤキは買えない。

大問２（小問集合２）

（１）求積
ＯＡ、ＯＢに線を引けば正解は目前。
△ＡＢＣで残りの∠ＡＣＢは４５°。
円周角定理で∠ＡＯＢは直角で、かつＯＡ＝ＯＢ（半径）
よって、△ＯＡＢは直角二等辺三角形。
ＡＢが４ｃｍなので、４×１/√２＝２√２…半径
あとは、４分の１の扇形から直角二等辺三角形をひけばおしまい。
２√２×２√２×π×90/360－２√２×２√２×１/２
＝２Π－４ｃｍ²

（２）作図問題
∠ＡＢＣの二等分線→点Ｃを通る二等分線に垂直な垂線。

（３）確率
サイコロを２回振る。偶数と奇数のパターンで分ける。
偶→偶パターン…最後が偶数だと１段下がるのでＧＯＡＬできない。
奇→偶パターン…同様。
奇→奇パターン…（１，３）（３，１）（５，１）
偶→奇パターン…（２，５）（４，５）（６，５）
以上、６通り。
*超過分は戻るので、（５，１）を忘れないこと！

（４）体積
ご丁寧に図があるので参考する。
球の体積なので球の半径（＝図の円の半径）がわかればいい。
円の半径と接線は垂直。
９０°と共通角で２角が等しい２つの三角形は相似。
半径をｒとおく。１２：４＝３：１＝１２－ｒ：ｒ
外項と内項の積は一緒。
１２－ｒ＝３ｒ　４ｒ＝１２　ｒ＝３
よって、３×３×３×π×４/３＝３６πcm³

大問３（関数）

（１）
Ａ（－１、１/４）　Ｂ（４、４）
２点を通る直線の式→連立方程式
ｙ＝３/４ｘ＋１

（２）
やや難。
Ｄの座標を（ｐ、１/４ｐ^２）とおく。
ＥＤの直線の式を求める。
ＡＢと平行なので傾きは３/４
１/４ｐ^２＝３/４ｐ＋ｂ
ｂ＝１/４ｐ^２－３/４ｐ
つまり、切片Ｅ（０、１/４ｐ^２－３/４ｐ）
ＥＣ＝１/４ｐ^２－３/４ｐ－１＝ＥＤ（仮定より）
ここで傾きが３/４であることに注目！
４右にいって３上がる→３：４：５の直角三角形が使える。
ＥＤが斜辺となる直角三角形を描く。
ここに気づかないと計算がややこしくなる。

④：⑤＝ｐ：１/４ｐ^２－３/４ｐ－１
内項と外項の積から、
５ｐ＝ｐ^２－３ｐ－４
ｐ^２－８ｐ－４＝０
解の公式（ｂ’方式ver）
ｐ＝４±√１６＋４＝４±√２０＝４±２√５
Ｄのｘ座標は４より大きいのでｐ＞４より、
ｐ＝４＋２√５

大問４（平面図形）

（１）
図形の証明問題。いろいろな方法があると思う。
ＡＢ＝ＡＤ（正方形の一辺）　…①
∠ＪＢＡ＝∠ＩＡＤ＝９０°　 …②
また、ＩＤは点Ａが点Ｇに重なるように折ったときにできた線であるから、
線対称における対象の軸となり、ＩＤ⊥ＡＧ
すると∠ＪＬＩ＝９０°
四角形ＩＢＪＬに注目！
∠ＩＢＪ＋∠ＪＬＩ＝９０＋９０＝１８０°
対角の和が１８０°なので、四角形ＩＢＪＬは円に内接する。
円に内接する四角形の内角は、その対角の外角に等しいから、
∠ＡＪＩ＝∠ＤＩＡ　　　　　…③
△ＡＢＪと△ＤＡＩにおいて、②、③から残る角も等しい。
∠ＪＡＢ＝∠ＩＤＢ　　　　　…④
①、②、④から１辺とその両端角が等しいので、
△ＡＢＪ≡△ＤＡＩ

（２）
ＧＨに線分をひく。
ＡＨを対象の軸として折ったので、
△ＡＧＨ＝△ＡＤＨ　…①
また、左右対称により△ＡＤＨ＝△ＤＡＩ　…②
（１）より、△ＤＡＩ＝△ＡＢＪ　…③
①、②、③より、
△ＡＤＨ＝△ＡＧＨ＝△ＡＢＪ
よって、∠ＨＡＤ＝∠ＨＡＪ＝∠ＪＡＢなので、
各々の角度は９０÷３＝３０°
また、△ＡＢＤは直角二等辺三角形なので、∠ＡＤＮ＝４５°
従って、△ＤＡＮ内で外角定理を用いて、
∠ＤＮＨ＝４５＋３０＝７５°

（３）
△ＡＢＪと△ＡＤＨは合同。
しかも、90°、60°、30°の直角三角形→１：２：√３が使える。
ＡＤ：ＢＪ＝√３：１　　…①
△ＡＤＬと△ＪＢＬにおいて２角が等しい（錯角）から、①より
ＢＭ：ＤＭ＝１：√３

ＭからＢＣに平行でＡＢとの交点をＫをおく。三角形と線分の比から、
△ＡＢＤ：△ＫＢＬ＝ＡＤ：ＫＭ＝√３＋１：１
ＡＤ＝８なので、
ＫＭ＝８×１/（√３＋１）＝４√３－４
よって、８×（４√３－４）÷２＝１６√３－１６ｃｍ²
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