2016年度 千葉県公立高校入試【後期】数学解説

平均57.9点
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大問1(計算)-89.7%

(1) 99.0%
8-15
=-7

(2) 97.2%
3+(-4)2÷8
=3+16÷8
=3+2
=5

(3) 85.1%
3(1/2x-2/3y)-1/2x-y
=3/2x-2y-1/2x-y
=x-3y

(4) 90.2%
連立方程式
x-2y=-8 ・・①
3x+y=11 ・・②
 
加減法でも代入法でも。以下、代入法。
①から、x=2y-8
②に代入
3(2y-8)+y=11
y=5
②に放り込む
3x+5=11
x=2  y=5

(5) 85.1%
-√75+12/√3
=-5√3+4√3
=-√3

(6) 81.8%
2x2-3x-1=0を解きなさい。
因数分解できないので、素直に解の公式。
x=3±√9+8 / 4
=3±√17/ 4

やはり、解の公式が登場した。

大問2(小問集合)-63.8%

(1) 93.0%
空間認識。立面図は正面から、平面図は上から立体をみている。
ア→立方体、イ→三角柱、ウ→四角錘、エ→三角錐
よって、ウ。

(2) 69.0%
得点×度数の合計が総得点。総得点÷人数=平均
5×2+4×7+3×5+2×4+1×1+0×1=62点・・総得点
62÷20=62/20=31/10=3.1
今年の度数分布表は基本であった。

(3) 54.6%
いずれも座標が不明。正方形の特徴から考える。
正方形の面積は〔対角線×対角線÷2
AB×CO÷2=8
AB=CO=4
正方形の対角線は直角に交わり、中点を通る
B(2、2)から、2=22a  a=1/2

(4) 75.3%
2a+bが3の倍数。
aを基準に組み合わせを考える。
(a、b)=(1、1)(1、4)(2、2)(2、5)(3、3)(3、6)(4、1)(4、4)(5、2)(5、5)(6、3)(6、6)
*面倒くさいが、bは〔a+3〕すれば少し楽。
よって、12/36=1/3

(5) 27.2%
75°を作成する。前期と比べたら易しめ。
作図できる90、45、60、30をうまく活用して、和を75にすればいい
以下、75=60+15=60+(30÷2)のやり方(公式解答2番目)
適当な直径をひく。モンスターボールみたい。

直径の両端から適当な長さをとる。
直径の垂直二等分線。

直径の右端をAとする。Aから半径の長さをとる。
正三角形が出現。直角を30°と60°に分ける
30を二等分し、15と60をたせば75になる。

↑④角の二等分線
文字A、Bを書き忘れないように。

*公式解答1番目のやり方は、75=45+30=90÷2+(90-60)
直径の垂直二等分線をひき、左を直角の二等分線、右を正三角形、その間が75となる。

大問3(図形の移動)-32.0%

(1) 49.9%
3cmまでは縦xcm、横xcmの直角二等辺三角形
y=x×x×1/2
y=1/2x2

(2)①  41.1%
yの最大値Мは点Cが点Fと重なったとき。
3<x≦6は台形になる。

EFに平行な線をひくと、上にも直角二等辺があらわれる。
(3+6)×3×1/2=27/2cm2

②  4.9%!
M=27/2
x=3のとき、3×3×1/2=9/2cm
Mの半分に満たない→3<x<6、M/2は台形のとき。

↑求めたいところをxとおくとこんな感じに。
前問の通り、左の辺は右の辺(x)の-3
あとは台形の公式にのせるだけ。
(x-3+x)×3×1/2=27/2×1/2
3(2x-3)=27/2
2x-3=9/2
x=15/4

*2次方程式ではなかった。
大問4からキツくなるので、ここまでは快速でいきたい。



大問4(平面図形)-47.8%

(1)
前期と比べると、やや難しくなっている。
誘導に従う。
(a)…選択肢のなかから、正三角形の1つの角を選ぶ。ア  95.7%
(b)…角度の話しかしていませんからね。オ        90.2%
(c) 6点―3.4%! 3点―2.8% 無答―57.9%!
△ECFと△AGCをみつめる。
正三角形が3つあるので、等しい辺に記号をふる。
また、④(平行四辺形の対辺は等しい)とあわせると2辺が等しいことがわかる。
すなわち、2辺の間の角である∠EFC=∠ACGがわかれば嬉しい。
⑤で∠BCF=∠EFC(錯角)の誘導が残されているので、
∠BCF=∠ACGの証明さえ整えれば、全て説明がつく。
∠BCF=∠ACB-∠ACF=60-★
∠ACG=∠GCF-∠ACF=60-★
正三角形の内角と、共通する∠ACFをひくと同じ角度になる。
ここさえ丁寧に記述できれば、6点ゲットも間近。

以下、公式解答引用
―――引用はじめ―――
△ECFと△AGCにおいて、
△ABCは正三角形であるから、
BC=AC …⑥
④、⑥より、 EF=AC …⑦
△GCFは正三角形であるから、
CF=GC …⑧
∠ACB=∠GCF=60°より、
∠ACG=60°-∠ACF
∠BCF=60°-∠ACF
したがって、∠BCF=∠ACG …⑨
⑤、⑨より、∠EFC=∠ACG …⑩
⑦、⑧、⑩より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ECF≡△AGC
―――引用おわり―――

(2) 1.8%!!
悩みどころ。
図形がごちゃごちゃしているので、的確な方針がないと迷ってばかりになる。
△CEHと△BFCは互いに位置が離れているが、
四角形FBCEが平行四辺形なので高さが等しい
つまり、底辺であるHE:BC=△CEH:△BFCとなる。
BCは正三角形の1辺で5。
では、HEの長さはいくつだろうか?
DEが正三角形の1辺なので2。
DHが知りたい。
中途半端な場所にあるが△ACG をみると…なんとなくAGがDHと平行にみえる
正三角形の内角と、前問の合同で60°の位置を確認。
すると、∠GAC=∠ACB(錯角)→AG//BC
平行四辺形と組み合わせれば、AG//FE//BC

3本の平行線が見つけられるかどうかが成否の分水嶺(ぶんすいれい)。
平行線の線分の比を駆使する。

↑余分な線分をカット。
△CGA∽CHDから、AG:DH=5:2
AG=2、DH=2×2/5=4/5

図がモヤ~となってしまった(-_-;)ずっと見てると気持ち悪くなるのでお気をつけて・・
HE=2-4/5=6/5

したがって、△CEH:△BFC=HE:BC=6/5:5=6:25

*AGがなんとなく平行線にみえるかどうか。
根拠なくして証明をしてはならないが、指針を立てるうえでは感覚も大切。



大問5(規則)-33.6%

点の位置が反時計回りに、ピ、ピ、ピ、ピョーンと移動する。
(1)  78.1%
(0、1)からスタートし、左→下→右→上と移動する。
4の倍数ごとに方位がかわる
14秒後は、14÷4=3・・2
整理すれば、14=2+4×3
つまり、スタートから2進み、そこから3周まわったところ

スタートから2進むと(0、-1)
ここから3周なので、14秒後の点Pは下に3つ。
よって、P(0、-4)

(2)  43.0%
(-15、0)ということは左方向
1秒後に(-1、0)、4秒ごとに1周して(-2、0)(-3、0)・・・。
左方向に点Pがくる秒数を数列にあらわすと、
1秒後、5秒後、9秒後、13秒後、17秒後・・・
上の数列の15番目が答え。あとは、数列の基本問題。
1+4×(15-1)=57秒後

(3)  12.2%!
前問の状態から点Pを移動させる。
mは4の倍数 」なので、(-15、0)を出発してから4の倍数後のみを考える。
言い換えれば、1周してまた左方向に戻ってくるので、
(-15、0)の左側に点Pがあらわれることになる
(-15、0)から4秒後に(-16、0)
その4秒後に(-17、0)、4秒後(-18、0)・・・
x軸方向に-1、すなわち-m/4ずつ移動する(mは4の倍数の秒なので÷4)。
よって、(-15、0)から移動を始めてから(-15-m/4、0)

(4) 1.1%!!
ラスボス。
Bがy軸上にある→Bは上方向か下方向。
まずは、Bの位置を確定する。

実際に描いて見る。
Bから3秒後がCなので、CはBから反時計回りに270度回転した場所にくる。
Bが上方向にくると、∠BACが鈍角になってしまう
△ABCは鋭角三角形なので不適。
したがって、Bは下方向にくる。

Bから原点までの距離をdとおく。
ABはd+1
COの距離は、上方向にくると原点までの距離が+1されるのでd+1となる。
△ABCの面積は、
(d+1)×(d+1)×1/2=72
(d+1)2  =144
2 +2d+1=144
2 +2d-143
=(d+13)(d-11)=0(*13×11=143)
dは距離ゆえにd>0、d=11
B(0、-11)
あとは、(2)と同様に考える。
下方向の秒数を数列であらわすと、
2、6、10、14、18、22・・
11番目は、2+4×(11-1)=42(秒後)

座標から規則をつかみ、数列に置き換えれば対処しやすいかもしれない。
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