2020年度 高知県公立高校入試問題A日程【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)①
-5-4+7
=-2


(2x+y)/4-(x-2y)/6
={3(2x+y)-2(x-2y)}/12
=(6x+3y-2x+4y)/12
=(4x+7y)/12


24a22÷(-6b3)÷2ab
=-2a/b2


√75-9/√3
=5√3-3√3
=2√3

(2)
2(5+b)=a
10+2b=a
2b=a-10
b=(a-10)/2

3)
4%の食塩水をxgとする。9%の食塩水は600-xg。
食塩で等式を作成
4/100x+9/100(600-x)=600×6/100 ←全てを100倍
4x+9(600-x)=600×6
5x=1800
x=360 →360g

@別解@
中学受験の必殺ワザ、天秤法。

4%と9%を混ぜたら6%になった。
6%を支点として天秤をつくる。
支点からの距離は2:3だから、重りの重さは3:2。
600gを3:2に案文して、600×3/5=360g

(4)
因数分解が出来ないので解の公式。
x=(-7±√41)/4

(5)
y=-x2は上に凸のグラフ。
xの変域から原点を通過するので、x=0のとき最大値y=0
最小値は原点から最も離れたx=3のとき、y=-9
-9≦y≦0
a…-9、b…0

(6)
半径は6cm。
球の体積…V=4/3πr3
4/3π×63=288πcm3

(7)
ありがたいことに平均値aが提供されている( ̄人 ̄)
40人の中央値(メジアン)bは20番目と21番目の平均値→共に2~3の階級で階級値2.5。
最頻値(モード)cは最も現れている値→1~2の階級で階級値は1.5。
c(1.5)<b(2.5)<a(3.3)

(8)
作図問題。
①∠ABCの二等分線。
②Aを通る、①の二等分線に垂直な線分。
交点がPとなる。

大問2(整数)

(1)
連続する4つの奇数において、最小の奇数を2n+1とする。
これに+2、+4、+6をすれば、連続する奇数になる。
ア…2n+3、イ…2n+5、ウ…2n+7

(2)
連続する5つの整数において、3番目に大きい整数をnとすると、
5つの整数はn-2、n-1、n、n+1、n+2となる。
(nー2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)
=5n=280
n=56
最も小さい整数は、n-2=56-2=54

(3)
連続する3つの偶数の和で『表すことができない』証明。
通常通り、文字式を立てて変形し、最後のnが割り切れない→表すことができない、という流れ。

連続する3つの偶数において、真ん中の偶数を2n(nは整数)とおくと、
連続する3つの偶数は2n-2、2n、2n+2となる。
(2n-2)+2n+(2n+2)
=6n=280
n=140/3
nが整数ではないので、2n-2、2n、2n+2は偶数ではない。
したがって、280は連続する3つの偶数の和で表すことができない。
偶数・奇数は整数の話。nが整数でなければ、2n-2などは整数でない=偶数でない。
仮定と矛盾するので、”表せない”ことが証明できる。最後は問いに答える形でフィニッシュ!)


大問3(平面図形1)

(1)
∠x+∠y=90°の証明。

ADに補助線
弧CDに対する円周角より、∠CAD=∠x
直径に対する円周角は90°であるのを利用し、∠BAD=∠x+∠y=90°

(2)

OCに補助線
半径からOB=OCより、△OBCは二等辺。
∠OCB=∠x

BOを延長して、円周との交点をDとする。
△OBCの外角定理で、∠COD=∠x+∠x=2∠x
(∠CODが∠CBDの中心角である点を指摘しても良い)

∠yは、Aを含まない弧BCに対する円周角。
その中心角である∠BOC=2∠y

BDが直線であることから、
2∠y-2∠x=180° ←すべての項を÷2
∠y-∠x=90°

大問4(確率)

(1)
1回目に1枚、2回目に5枚裏返せば、6枚すべて黒。
つまり、1回目の数+2回目の数=6になればいい。
(1、5)(2、4)(3、3)(4、2)(5、1)
以上、5通り→5/36

(2)
こまEが白となるパターンを考える。
■2回目にEを裏返すパターン
→1回目にEを裏返しておく必要がある。
→1回目に5か6を出す⇒2通り
2回目は2以上でEが裏返る⇒5通り
2×5=10通り

■2回目にEを裏返さないパターン
→2回目は1しか出さない⇒1通り
1回目は1~4の範囲まで(Eを裏返さない)⇒4通り
1×4=4通り

計14通り
14/36=7/18

大問5(関数)

(1)
y=1/4x2に、x=-6を代入。
y=1/4×(-6)2=9
A(-6、9)

(2)
同様にBの座標を求める→B(2、1)
AC+CBが最小ということは、ACBは一直線上にある
言い換えれば、Cは直線ABの切片にあたる。
A(-6、9)→B(2、1)
右に8、下に8だから、傾きは-8/8=-1
傾きが-1なので、Bから右に6、下に6移動して、C(0、3)

(3)
回転体が2つある。

↑円錐がこのようにできる。

AD:BE=6:2=③:①
三角錐の体積比は底面積の比×高さで求められる。
③×③×DC=①×①×CE×7
⑨×DC=⑦×CE
DC:CE=7:9

DE=8なので、
CE=8×9/16=9/2

大問6(平面図形2)

(1)
△ADE≡△FCBの証明。
等辺がたくさんある…(;´Д`)
△ADEと△FCBのどこの情報が知りたいか見極めること!

仮定より、AD=FC
菱形の1辺より、DE=CB
菱形BCEDからBC//DE、同位角で∠ADE=∠ABC
△ABCは二等辺だから、∠ABC=∠FCB
よって、∠ADE=∠DCB
2辺とあいだの角が等しいので合同。

(2)
厄介(;´Д`)
解法は複数あるが、ルート次第で処理の煩雑さが変わる。

菱形の1辺は5cm。
AB=7cmより、AD=7-5=2cm
仮定より、FC=2cm、AF=7-2=5cm

△ABF∽△CGFより、BF:FG=AF:FC=⑤:②
△CFGの面積を【2】とすると、△CFBの面積は【5】となる。

ここで前問の合同を使い、△EADの面積も【5】
AD:DB=2:5より、△EDB=【5】×5/2=【25/2】
△EDBは菱形BCEDの半分なので、菱形BCEDの面積は【25】。
したがって、【25】÷【2】=25/2倍
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